Foram fornecidas explicitamente as quatro matrizes que formam S.
O espaço alvo é M_{2,2}, o espaço de todas as matrizes 2\times2.
O que o enunciado pede: dizer se S é (ou não é) uma base de M_{2,2}.]
Passo 2
Estratégia e conceito que vamos usar (explicação didática):
Lembrar a definição: um conjunto de vetores é uma base de um espaço vetorial quando duas condições ocorrem simultaneamente: (i) os vetores são linearmente independentes e (ii) geram (spant) o espaço.
Para M_{2,2} vale que \dim(M_{2,2})=4 (cada matriz 2\times2 tem 4 entradas livres). Assim, qualquer conjunto de exatamente 4 matrizes será uma base se, e somente se, for linearmente independente (porque então automaticamente geraria o espaço, pela igualdade de cardinalidade com a dimensão).
Portanto basta testar a independência linear de S.
Explicando o teste de independência (passo-a-passo pedagógico):
Tomamos combinações lineares dos vetores (matrizes) e exigimos que essa combinação dê a matriz nula; se a única solução for trivial (todos os coeficientes nulos) então são linearmente independentes.
Vamos escrever uma combinação linear com incógnitas x_1,x_2,x_3,x_4 correspondendo às quatro matrizes e igualar à matriz nula; em seguida equacionaremos entrada por entrada para obter um sistema linear em x_1,x_2,x_3,x_4.
Passo 3
Escrever a combinação linear e equacionar entradas:
Sejam x_1,x_2,x_3,x_4 escalares tais que
Portanto a única solução do sistema é a solução trivial
x_1=x_2=x_3=x_4=0.
Passo 5
Conclusão lógica e interpretação:
Encontramos que a única combinação linear que produz a matriz nula é a combinação trivial. Isso significa que as quatro matrizes em S são linearmente independentes.
Como S tem exatamente 4 elementos e \dim(M_{2,2})=4, a independência linear garante que S também gera M_{2,2}.