Determine se S=\left\{\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\\\ 0 & 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}1 & 4 \\\\ 0 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 3 & 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 2 & 0\end{array}\right]\right\} é uma base de M_{2,2}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se S é uma base do espaço M_{2,2}. O conjunto S é
S=\left\{ \begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix},\, \begin{pmatrix}1 & 4 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},\, \begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 3 & 2\end{pmatrix},\, \begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 2 & 0\end{pmatrix} \right\}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Foram fornecidas explicitamente as quatro matrizes que formam S.
  • O espaço alvo é M_{2,2}, o espaço de todas as matrizes 2\times2.
O que o enunciado pede: dizer se S é (ou não é) uma base de M_{2,2}.]

Passo 2

Estratégia e conceito que vamos usar (explicação didática):
  • Lembrar a definição: um conjunto de vetores é uma base de um espaço vetorial quando duas condições ocorrem simultaneamente: (i) os vetores são linearmente independentes e (ii) geram (spant) o espaço.
  • Para M_{2,2} vale que \dim(M_{2,2})=4 (cada matriz 2\times2 tem 4 entradas livres). Assim, qualquer conjunto de exatamente 4 matrizes será uma base se, e somente se, for linearmente independente (porque então automaticamente geraria o espaço, pela igualdade de cardinalidade com a dimensão).
  • Portanto basta testar a independência linear de S.
Explicando o teste de independência (passo-a-passo pedagógico):
  • Tomamos combinações lineares dos vetores (matrizes) e exigimos que essa combinação dê a matriz nula; se a única solução for trivial (todos os coeficientes nulos) então são linearmente independentes.
  • Vamos escrever uma combinação linear com incógnitas x_1,x_2,x_3,x_4 correspondendo às quatro matrizes e igualar à matriz nula; em seguida equacionaremos entrada por entrada para obter um sistema linear em x_1,x_2,x_3,x_4.

Passo 3

Escrever a combinação linear e equacionar entradas:
Sejam x_1,x_2,x_3,x_4 escalares tais que
x_1\begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix} +x_2\begin{pmatrix}1 & 4 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} +x_3\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 3 & 2\end{pmatrix} +x_4\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 2 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Agora igualamos entrada por entrada para obter um sistema linear em x_1,x_2,x_3,x_4.
  • Entrada (1,1):
2x_1 + 1x_2 + 0x_3 + 0x_4 = 0,
ou seja
2x_1 + x_2 = 0.
  • Entrada (1,2):
0x_1 + 4x_2 + 1x_3 + 1x_4 = 0,
ou seja
4x_2 + x_3 + x_4 = 0.
  • Entrada (2,1):
0x_1 + 0x_2 + 3x_3 + 2x_4 = 0,
ou seja
3x_3 + 2x_4 = 0.
  • Entrada (2,2):
3x_1 + 1x_2 + 2x_3 + 0x_4 = 0,
ou seja
3x_1 + x_2 + 2x_3 = 0.
Temos, portanto, o sistema (resumindo)
\begin{cases} 2x_1 + x_2 = 0,\\[4pt] 4x_2 + x_3 + x_4 = 0,\\[4pt] 3x_3 + 2x_4 = 0,\\[4pt] 3x_1 + x_2 + 2x_3 = 0. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema passo a passo (sem pular etapas):
  1. Da primeira equação \;2x_1 + x_2 = 0\; tiramos
x_2 = -2x_1.
  1. Da terceira equação \;3x_3 + 2x_4 = 0\; tiramos
x_3 = -\tfrac{2}{3}x_4.
  1. Substituímos x_2 em termos de x_1 na quarta equação \;3x_1 + x_2 + 2x_3 = 0\;:
3x_1 + (-2x_1) + 2x_3 = 0
que simplifica para
x_1 + 2x_3 = 0.
Agora substituímos x_3 (em função de x_4) nessa equação:
x_1 + 2\!\left(-\tfrac{2}{3}x_4\right) = 0 \quad\Rightarrow\quad x_1 - \tfrac{4}{3}x_4 = 0
portanto
x_1 = \tfrac{4}{3}x_4.
  1. Usando x_1 achado, obtemos x_2:
x_2 = -2x_1 = -2\left(\tfrac{4}{3}x_4\right) = -\tfrac{8}{3}x_4.
  1. Finalmente substituímos x_2 e x_3 (ambos em função de x_4) na segunda equação \;4x_2 + x_3 + x_4 = 0\;:
4\left(-\tfrac{8}{3}x_4\right) + \left(-\tfrac{2}{3}x_4\right) + x_4 = 0.
Calculemos o lado esquerdo com cuidado:
-\tfrac{32}{3}x_4 - \tfrac{2}{3}x_4 + \tfrac{3}{3}x_4 = -\tfrac{32+2-3}{3}x_4 = -\tfrac{31}{3}x_4.
Assim a equação fica -\tfrac{31}{3}x_4 = 0, o que implica
x_4 = 0,
porque -\tfrac{31}{3}\neq 0.
  1. Se x_4=0, voltando pelas igualdades obtidas, temos
x_3 = -\tfrac{2}{3}x_4 = 0,\quad x_1 = \tfrac{4}{3}x_4 = 0,\quad x_2 = -\tfrac{8}{3}x_4 = 0.
Portanto a única solução do sistema é a solução trivial
x_1=x_2=x_3=x_4=0.

Passo 5

Conclusão lógica e interpretação:
  • Encontramos que a única combinação linear que produz a matriz nula é a combinação trivial. Isso significa que as quatro matrizes em S são linearmente independentes.
  • Como S tem exatamente 4 elementos e \dim(M_{2,2})=4, a independência linear garante que S também gera M_{2,2}.
  • Logo S é uma base de M_{2,2}.

Resposta

Sim: S é uma base de M_{2,2}.

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