Estenda para o conjunto \{(1,2,1),(2,0,-1)\} de modo a obter uma base para o espaço vetorial V=\mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede: estender o conjunto \{(1,2,1),(2,0,-1)\} de modo a obter uma base para o espaço vetorial V=\mathbb{R}^{3}.
Informações dadas:
  • Vetor v_{1}=(1,2,1).
  • Vetor v_{2}=(2,0,-1).
  • Espaço alvo: V=\mathbb{R}^{3} (dimensão 3).
O que é preciso achar: um vetor v_{3}\in\mathbb{R}^{3} tal que \{v_{1},v_{2},v_{3}\} seja uma base de \mathbb{R}^{3}. Isto significa que o conjunto resultante deve ser linearmente independente e, porque tem três vetores em \mathbb{R}^{3}, automaticamente gerará todo \mathbb{R}^{3}.

Passo 2

Verificar se os dois vetores fornecidos já são linearmente independentes (precisamos disso para completar até uma base).
Definição prática: vetores v_{1},v_{2}\) são linearmente independentes se a única solução do sistema \[a\,v_{1}+b\,v_{2}=0
for a=0 e b=0.
Escrevendo coordenada a coordenada, com v_{1}=(1,2,1) e v_{2}=(2,0,-1), obtemos o sistema
\begin{cases} a + 2b = 0,\\[4pt] 2a + 0b = 0,\\[4pt] a - b = 0. \end{cases}
Resolver passo a passo:
  • Da segunda equação \;2a=0\;\] segue \(\;a=0.
  • Substituindo na primeira: 0+2b=0 \;b=0.
  • A terceira equação a-b=0 fica 0-0=0, que é satisfeita.
Como a única solução é a=b=0, conclui-se que v_{1} e v_{2} são linearmente independentes. Portanto o subespaço que geram tem dimensão 2 (ou seja, é um plano em \mathbb{R}^{3}).]

Passo 3

Estratégia para completar a base (explicação didática): para obter uma base de [\mathbb{R}^{3}) a partir de dois vetores linearmente independentes, basta escolher um terceiro vetor que não pertença ao plano gerado por v_{1} e v_{2} (ou seja, que não seja combinação linear deles). Uma forma prática é testar vetores simples do tipo canônico até achar um que não seja combinação linear.
Escolho o candidato simples
v_{3}=(0,0,1).
Agora vamos verificar se v_{3} está no span \{v_{1},v_{2}\}. Se existir c,d tais que
c\,v_{1}+d\,v_{2}=v_{3},
então v_{3} estaria no span; caso contrário, não está.
Escrevendo coordenadas:
\begin{cases} c + 2d = 0,\\[4pt] 2c + 0d = 0,\\[4pt] c - d = 1. \end{cases}
Resolver:
  • Da segunda equação \;2c=0\;\] segue \(\;c=0.
  • Substituindo na primeira: 0+2d=0 \;d=0.
  • Substituindo c=0,d=0 na terceira dá 0-0=0, que não é igual a 1. Logo há contradição.
Portanto não existem c,d que satisfaçam todas as três equações; isto mostra que v_{3}=(0,0,1) não pertence ao span \{v_{1},v_{2}\}. Em outras palavras, v_{3} é linearmente independente de v_{1} e v_{2}.]

Passo 4

Verificação final e interpretação com determinante (uma garantia computacional):
Forme a matriz cujas colunas são v_{1},v_{2},v_{3}:
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\[4pt] 2 & 0 & 0\\[4pt] 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
O conjunto de colunas é linearmente independente se e somente se \det(A)\neq 0. Calculemos \det(A):
Usando expansão pela primeira linha:
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]-1&1\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}2&0\\[4pt]1&1\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).
Calcule os determinantes 2×2:
\det\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]-1&1\end{pmatrix}=0\cdot1-0\cdot(-1)=0,
\det\begin{pmatrix}2&0\\[4pt]1&1\end{pmatrix}=2\cdot1-0\cdot1=2.
Portanto
\det(A)=1\cdot 0 - 2\cdot 2 = -4\neq 0.
Como o determinante é não nulo, as três colunas são linearmente independentes e, por terem três vetores em \mathbb{R}^{3}, formam uma base de \mathbb{R}^{3}.]

Passo 5

Conclusão prática e dica para a prova: uma maneira rápida em provas é sempre tentar vetores canônicos (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) e checar se algum deles não está no span dos vetores dados — isso costuma resolver rápido sem muito cálculo. Aqui (0,0,1) funcionou imediatamente.

Resposta

\{(1,2,1),(2,0,-1),(0,0,1)\}

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