Encontre uma base para o núcleo das transformações lineares abaixo:
(e)
dada por
(e)
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
com domínio o espaço de todas as matrizes
(denotado por
) e contradomínio
. A transformação está definida por
O que o problema pede: encontrar uma base para o núcleo (kernel) de
, ou seja, uma família de matrizes que gere todos os elementos de
e seja linearmente independente.]
Passo 2
Lembrete rápido e didático (sem pular etapas):
- O núcleo de uma transformação linear
é o conjunto , onde é o vetor nulo em , isto é . - Uma família de vetores (aqui: matrizes) é base de um subespaço se (i) gera o subespaço (todo vetor do subespaço é combinação linear deles) e (ii) é linearmente independente (a única combinação linear que dá a matriz zero é a combinação trivial com todos coeficientes zero).
Vou usar esses dois fatos para construir e verificar a base do núcleo.
Passo 3
Escrevo uma matriz genérica em
:
Aplicando
temos
Para
estar no núcleo é necessário e suficiente que
. Assim a condição é
Não há condição sobre
nem sobre
: esses podem ser quaisquer números reais.]
Passo 4
Resolvo a condição acima explicitando os graus de liberdade. Da equação
segue
Então uma matriz
tem a forma
Agora escrevo essa matriz como combinação linear de matrizes que não dependem uma da outra: coloquei como parâmetros
,
,
. Assim
Isto mostra que qualquer elemento do núcleo é combinação linear das três matrizes
Logo essas três matrizes geram
.]
Passo 5
Agora verifico que
são linearmente independentes. Suponha que existam escalares
tais que
Escrevendo as entradas obtemos o sistema de igualdades por entradas:
- entrada
: , - entrada
: , - entrada
: , - entrada
: (já compatível com ).
Portantoé a única solução, o que prova a independência linear.]
Passo 6
Concluímos: as matrizes
geram
e são linearmente independentes, logo formam uma base de
. Como corolário,
.