é diagonalizável e pede justificação. Informações dadas: a matriz A é uma matriz 3\times3 triangular superior com entradas diagonais 2,2,3. A pergunta é única: determinar se A é diagonalizável e justificar.]
Passo 2
Lembrete rápido e definição útil (passo-a-passo):
Uma matriz n\times n é diagonalizável se existe uma base formada por n autovetores. Isso significa que é possível escrever A = PDP^{-1} com D diagonal.
Para verificar diagonalizabilidade podemos usar multiplicidades:
A multiplicidade algébrica de um autovalor \lambda é sua multiplicidade como raiz do polinômio característico (quantas vezes aparece na diagonal, no caso triangular).
A multiplicidade geométrica de \lambda é a dimensão do espaço próprio \ker(A-\lambda I).
Critério prático: A é diagonalizável se, para todo autovalor \lambda, sua multiplicidade geométrica é igual à multiplicidade algébrica, e a soma das multiplicidades geométricas é n.
Passo 3
Encontrar os autovalores (passo direto para matrizes triangulares):
Como A é triangular superior, os autovalores são os elementos da diagonal.
Logo os autovalores (com multiplicidades algébricas) são:\lambda=2\\ \text{com multiplicidade algébrica }2,\qquad \lambda=3\\ \text{com multiplicidade algébrica }1.éé
Passo 4
Calcular o espaço próprio de \lambda=2\) (multiplicidade geométrica):
- Formar \(A-2I\):
\[A-2I=\begin{pmatrix}0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
Resolver (A-2I)x=0. Escrevendo x=(x_1,x_2,x_3)^T obtemos o sistema (linha a linha):\begin{cases} x_2 + x_3 = 0,\\[4pt] 2x_3 = 0,\\[4pt] x_3 = 0. \end{cases}
Da terceira equação vem x_3=0\]. Substituindo na primeira dá \(x_2=0. x_1 fica livre.
Portanto os autovetores associados a \lambda=2 têm a formax = (x_1,0,0)^T = x_1(1,0,0)^T.
O espaço próprio de \lambda=2 é gerado por (1,0,0)^T, logo sua multiplicidade geométrica é 1.]
Passo 5
Calcular o espaço próprio de \lambda=3\):
- Formar \(A-3I\):
\[A-3I=\begin{pmatrix}-1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & -1 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.
Da segunda equação x_2 = 2x_3\]. Substituindo na primeira: \(-x_1 + 2x_3 + x_3 = 0, ou seja -x_1 + 3x_3 = 0, então x_1 = 3x_3.
Logo os autovetores associados a \lambda=3 sãox = x_3(3,2,1)^T,e a multiplicidade geométrica de \lambda=3 é 1, igual à sua multiplicidade algébrica.]
Passo 6
Conclusão sobre diagonalizabilidade:
As multiplicidades geométricas encontradas são: para \lambda=2 é 1; para \lambda=3 é 1.
A soma das multiplicidades geométricas é 1+1=2, que é menor que 3. Em particular a multiplicidade geométrica de \lambda=2 (que vale 1) é menor que sua multiplicidade algébrica (2).
Pelo critério, isso impede a existência de uma base de 3 autovetores. Portanto A não é diagonalizável.