Encontre a transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} que representa a reflexão por uma reta de equação " y=m x "

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado:
  • Pede-se encontrar a transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 que realiza a reflexão em torno da reta de equação y=m x.
  • Informação dada: a reta passa pela origem e tem declive m\in\mathbb{R}.
  • Objetivo claro: determinar a matriz de T na base canônica de \mathbb{R}^2.

Passo 2

Ideia geral do método (explicada de forma simples):
  • Uma reflexão em torno de uma reta que passa pela origem é uma transformação linear que deixa os vetores paralelos à reta inalterados e inverte os vetores perpendiculares a ela.
  • Um caminho eficiente é usar o vetor unitário que aponta na direção da reta e construir a projeção ortogonal sobre essa direção; a reflexão é dada por duas vezes essa projeção menos a identidade.
  • Vou aplicar esse método passo a passo, construindo primeiro o vetor unitário da reta, depois a matriz de projeção e finalmente a matriz da reflexão.

Passo 3

Encontrar um vetor que direcione a reta e normalizá‑lo:
  • Um vetor paralelo à reta y=mx é v=(1,m) (pois sua inclinação é m).
  • O comprimento (norma) desse vetor é \sqrt{1+m^2}.
  • O vetor unitário na direção da reta é
u=\frac{1}{\sqrt{1+m^2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]m\end{pmatrix}.]

Passo 4

Matriz da projeção ortogonal sobre a reta:
  • Lembrete rápido: para um vetor unitário u, a projeção ortogonal de um vetor x sobre a direção de u é (u\cdot x)\,u. A matriz que representa essa projeção é P=uu^{T}.
  • Como u é unitário, P tem a forma P=uu^{T}.

Passo 5

Calcular explicitamente P=uu^{T}:
  • Usando o u do Passo 3,
uu^{T}=\frac{1}{1+m^2}\begin{pmatrix}1\\[4pt]m\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & m\end{pmatrix} =\frac{1}{1+m^2}\begin{pmatrix}1 & m\\[4pt]m & m^2\end{pmatrix}.]

Passo 6

Fórmula da reflexão em termos da projeção:
  • A reflexão T em torno da reta é dada por
T(x)=2P(x)-x,
ou seja, em termos de matrizes
R:=\text{matriz de }T \;=\;2P-I,
onde I é a matriz identidade 2\times2.

Passo 7

Calcular R=2P-I explicitamente:
  • Substituindo P=uu^{T} do Passo 5,
R=2\cdot\frac{1}{1+m^2}\begin{pmatrix}1 & m\\[4pt]m & m^2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
  • Colocando em um único quociente (fazendo as contas elemento a elemento):
R=\frac{1}{1+m^2}\begin{pmatrix}2 & 2m\\[4pt]2m & 2m^2\end{pmatrix} -\frac{1+m^2}{1+m^2}\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} =\frac{1}{1+m^2}\begin{pmatrix}2-(1+m^2) & 2m\\[4pt]2m & 2m^2-(1+m^2)\end{pmatrix}.
  • Simplificando cada entrada:
2-(1+m^2)=1-m^2,\qquad 2m \text{ permanece },\qquad 2m^2-(1+m^2)=m^2-1.
  • Portanto
R=\frac{1}{1+m^2}\begin{pmatrix}1-m^2 & 2m\\[4pt]2m & m^2-1\end{pmatrix}.]

Passo 8

Verificações rápidas (para entender por que essa matriz faz reflexão):
  • Se aplicarmos R ao vetor paralelo \begin{pmatrix}1\\[4pt]m\end{pmatrix} ele deve ficar igual a si próprio; se aplicarmos a um vetor perpendicular \begin{pmatrix}-m\\[4pt]1\end{pmatrix} ele deve mudar de sinal. Essas verificações confirmam que a matriz obtida é de facto uma reflexão (os cálculos dão R(1,m)^T=(1,m)^T e R(-m,1)^T=-( -m,1)^T).
  • Observação útil: se escrever m=\tan\theta, a forma acima é equivalente à forma conhecida em termos do ângulo \theta:
R=\begin{pmatrix}\cos 2\theta & \sin 2\theta\\[4pt]\sin 2\theta & -\cos 2\theta\end{pmatrix},
mas a expressão em função de m é a mais direta quando a reta é dada por y=mx.]

Resposta

\displaystyle R=\frac{1}{1+m^2}\begin{pmatrix}1-m^2 & 2m\\[6pt]2m & m^2-1\end{pmatrix}]

Exercícios relacionados