Encontre a transformação linear
que representa a reflexão por uma reta de equação "
"
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado:
- Pede-se encontrar a transformação linear
que realiza a reflexão em torno da reta de equação . - Informação dada: a reta passa pela origem e tem declive
. - Objetivo claro: determinar a matriz de
na base canônica de .
Passo 2
Ideia geral do método (explicada de forma simples):
- Uma reflexão em torno de uma reta que passa pela origem é uma transformação linear que deixa os vetores paralelos à reta inalterados e inverte os vetores perpendiculares a ela.
- Um caminho eficiente é usar o vetor unitário que aponta na direção da reta e construir a projeção ortogonal sobre essa direção; a reflexão é dada por duas vezes essa projeção menos a identidade.
- Vou aplicar esse método passo a passo, construindo primeiro o vetor unitário da reta, depois a matriz de projeção e finalmente a matriz da reflexão.
Passo 3
Encontrar um vetor que direcione a reta e normalizá‑lo:
- Um vetor paralelo à reta
é (pois sua inclinação é ). - O comprimento (norma) desse vetor é
. - O vetor unitário na direção da reta é
Passo 4
Matriz da projeção ortogonal sobre a reta:
- Lembrete rápido: para um vetor unitário
, a projeção ortogonal de um vetor sobre a direção de é . A matriz que representa essa projeção é . - Como
é unitário, tem a forma .
Passo 5
Calcular explicitamente
:
- Usando o
do Passo 3,
Passo 6
Fórmula da reflexão em termos da projeção:
- A reflexão
em torno da reta é dada por
ou seja, em termos de matrizes
onde
é a matriz identidade
.
Passo 7
Calcular
explicitamente:
- Substituindo
do Passo 5,
- Colocando em um único quociente (fazendo as contas elemento a elemento):
- Simplificando cada entrada:
- Portanto
Passo 8
Verificações rápidas (para entender por que essa matriz faz reflexão):
- Se aplicarmos
ao vetor paralelo ele deve ficar igual a si próprio; se aplicarmos a um vetor perpendicular ele deve mudar de sinal. Essas verificações confirmam que a matriz obtida é de facto uma reflexão (os cálculos dão e ). - Observação útil: se escrever
, a forma acima é equivalente à forma conhecida em termos do ângulo :
mas a expressão em função de
é a mais direta quando a reta é dada por
.]