Encontre uma base para \operatorname{ger}(1,1+x, 2 x) em \mathscr{P}_{1}.

Passo 1

O enunciado pede uma base para o subespaço de \mathscr{P}_{1} gerado pelos polinômios \;1,\;1+x,\;2x.
O conteúdo é álgebra linear em espaços de polinômios: vamos mostrar quais destes são combinação linear dos outros, determinar um conjunto independente que gere o mesmo subespaço e, assim, encontrar uma base.

Passo 2

Mostramos que 2x é combinação de 1 e 1+x. De fato,
2x = 2\bigl[(1+x) - 1\bigr] = 2(1+x) - 2\cdot1.
Logo
\operatorname{span}\{1,\,1+x,\,2x\} = \operatorname{span}\{\,1,\,1+x\}.

Passo 3

Verificamos agora que \{\,1,\,1+x\} é um conjunto linearmente independente. Suponha
a\cdot1 \;+\; b\,(1+x) \;=\; 0
como polinômio. Isso implica
(a+b) + b\,x \;=\; 0 + 0\cdot x.
Comparando coeficientes, vem b=0 e a+b=0, logo a=0. Portanto são independentes e geram o mesmo subespaço.

Passo 4

Podemos escolher como base qualquer conjunto independente que gere o subespaço. Em especial, notamos que
x = (1+x) - 1
está no span, de modo que \{\,1,\,x\} gera o mesmo subespaço e é claramente independente. Assim obtemos a base mais simples.

Resposta

Uma base para \operatorname{ger}(1,\,1+x,\,2x) em \mathscr{P}_{1} é
\{\,1,\;x\}.

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