Encontre uma base para
em
.
Passo 1
O enunciado pede uma base para o subespaço de
gerado pelos polinômios
.
O conteúdo é álgebra linear em espaços de polinômios: vamos mostrar quais destes são combinação linear dos outros, determinar um conjunto independente que gere o mesmo subespaço e, assim, encontrar uma base.
O conteúdo é álgebra linear em espaços de polinômios: vamos mostrar quais destes são combinação linear dos outros, determinar um conjunto independente que gere o mesmo subespaço e, assim, encontrar uma base.
Passo 2
Mostramos que
é combinação de
e
. De fato,
Logo
Passo 3
Verificamos agora que
é um conjunto linearmente independente. Suponha
como polinômio. Isso implica
Comparando coeficientes, vem
e
, logo
. Portanto são independentes e geram o mesmo subespaço.
Passo 4
Podemos escolher como base qualquer conjunto independente que gere o subespaço. Em especial, notamos que
está no span, de modo que
gera o mesmo subespaço e é claramente independente. Assim obtemos a base mais simples.
Resposta
Uma base para
em
é