Estenda \left\{\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right]\right\} a uma base do espaço vetorial das matrizes simétricas 2 \times 2.

Passo 1

O enunciado pede para completar o conjunto
\Bigl\{\,\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix}\Bigr\}
até formar uma base de todas as matrizes simétricas 2\times2. O espaço \mathcal S das matrizes simétricas 2\times2 tem dimensão 3, pois toda matriz simétrica pode ser escrita como
\begin{pmatrix}a&b\b&c\end{pmatrix}
com (a,b,c)\in\mathbb R^3. Já temos duas matrizes independentes, então precisamos de mais uma.

Passo 2

Para estender a base, basta escolher uma matriz simétrica que não seja combinação linear das já dadas. Uma escolha natural é
A_3 = \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&-1\end{pmatrix},
pois ela mexe de forma independente com os elementos a e c.

Passo 3

Agora verificamos que \,I = \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix}, \,P = \begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix}
e \,A_3 = \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&-1\end{pmatrix}
são linearmente independentes. De fato, se existirem \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha I + \beta P + \gamma A_3 = 0,
então olhando as entradas
  • na posição (1,1): \alpha + \gamma = 0,
  • na posição (2,2): \alpha - \gamma = 0,
  • na posição (1,2) ou (2,1): \beta = 0.
    Das duas primeiras equações vem \gamma = 0 e \alpha = 0, e da última \beta=0. Logo só há a combinação trivial.

Passo 4

Como o conjunto agora tem 3 vetores (igual à dimensão de \mathcal S) e são independentes, ele forma uma base.

Resposta

\Bigl\{\,\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&-1\end{pmatrix}\Bigr\}
é uma base de todas as matrizes simétricas 2\times2.

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