Encontre uma base para \operatorname{ger}\left(1-2 x, 2 x-x^{2}, 1-x^{2}\right., 1+x^{2} ) em \mathscr{P}_{2}.

Passo 1

O enunciado pede uma base para o subespaço de \mathscr{P}_{2} gerado pelos polinômios
p_{1}=1-2x,\quad p_{2}=2x - x^{2},\quad p_{3}=1 - x^{2},\quad p_{4}=1 + x^{2}.
Vamos escrever cada um como vetor em \mathbb{R}^{3} na base \{1,x,x^{2}\} e usar eliminação de Gauss para extrair um subconjunto independente.

Passo 2

Na base \{1,x,x^{2}\} temos
\mathbf{v}_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ 0\end{pmatrix},\quad \mathbf{v}_{2}=\begin{pmatrix}0\\\ 2\\\ -1\end{pmatrix},\quad \mathbf{v}_{3}=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix},\quad \mathbf{v}_{4}=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 3

Montamos a matriz A com colunas \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3},\mathbf{v}_{4} e aplicamos eliminação de Gauss:
A= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1\\\\ -2 & 2 & 0 & 0\\\\ 0 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \;\sim\; \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 2 & 2 & 2\\\\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
Os pivôs estão nas colunas 1, 2 e 4.

Passo 4

As colunas 1, 2 e 4 são linearmente independentes, portanto os polinômios p_{1},p_{2},p_{4} formam uma base do subespaço gerado.

Resposta

\{\,1-2x,\;2x - x^{2},\;1 + x^{2}\}

Exercícios relacionados