Encontre uma base para \operatorname{ger}\left(1-x, x-x^{2}, 1-x^{2}, 1-2 x\right. \left.+x^{2}\right) em \mathscr{P}_{2}.

Passo 1

O enunciado pede uma base para o subespaço de \mathscr P_2 gerado pelos polinômios
p_1 = 1 - x,\quad p_2 = x - x^2,\quad p_3 = 1 - x^2,\quad p_4 = 1 - 2x + x^2.
Vamos representar cada um na base canônica \{1,x,x^2\}, identificar dependências lineares e extrair um subconjunto independente que gere o mesmo espaço.

Passo 2

Expressamos cada polinômio como vetor de coordenadas em \{1,x,x^2\}:
p_1 \mapsto (1,\,-1,\,0),\quad p_2 \mapsto (0,\,1,\,-1),\quad p_3 \mapsto (1,\,0,\,-1),\quad p_4 \mapsto (1,\,-2,\,1).

Passo 3

Observamos combinações lineares simples:
p_1 + p_2 = (1,-1,0)+(0,1,-1) = (1,0,-1) \;=\; p_3,
p_1 - p_2 = (1,-1,0)-(0,1,-1) = (1,-2,1) \;=\; p_4.
Portanto p_3 e p_4 estão no span \{p_1,p_2\}, i.e.\ o subespaço todo é gerado por p_1 e p_2.

Passo 4

Mostramos que p_1 e p_2 são independentes. Suponha
\alpha\,p_1 + \beta\,p_2 =0.
Em coordenadas:
\alpha(1,-1,0)+\beta(0,1,-1)=(0,0,0) \;\Longrightarrow\; (\alpha,\,-\alpha+\beta,\,-\beta)=(0,0,0).
Daí \alpha=0, depois -\beta=0 \beta=0. Logo só a combinação trivial existe, e p_1,p_2 são independentes.

Resposta

A base pedida é, por exemplo,
\{\,1 - x,\;x - x^2\}.

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