Encontre uma base de R^4 que contém os vetores u=(1,2,-2,1) e v=(1,0,-2,2).

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar uma base para o espaço R^4 que inclua os vetores u = (1, 2, -2, 1) e v = (1, 0, -2, 2). Isso envolve entender o que é uma base, que são vetores que são lineares e que “geram” todo o espaço. Aqui, vamos precisar verificar se esses vetores são independentes e, se sim, encontrar mais dois vetores que, juntos com eles, formem uma base completa para R^4.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se os vetores u e v são linearmente independentes. Dois vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como múltiplo do outro. Para isso, vamos ver se existe um número k tal que u = k v.
Comparando as componentes:
1 = k cdot 1 Rightarrow k = 1
2 = k cdot 0 Rightarrow 2 = 0 (isso não é possível) ãéí
Já vimos que não existe um k válido para todas as componentes, então u e v são linearmente independentes.

Passo 3

Agora que sabemos que u e v são independentes, precisamos achar mais dois vetores que não estejam no “universo” criado por u e v. Ou seja, queremos vetores que não possam ser escritos como combinações lineares de u e v. Vamos escolher vetores que tenham componentes diferentes para garantir essa independência.
Vamos tentar com:
w = (0, 1, 0, 0)
z = (0, 0, 1, 0)
Esses vetores são escolhidos de forma que suas posições únicas (não-zero) não coincidam com as de u e v, facilitando a independência.

Passo 4

Vamos verificar se os quatro vetores u, v, w e z são lineares independentes. Para isso, montamos uma matriz com eles e verificamos se o determinante é diferente de zero (indicando independência).
1 & 1 & 0 & 0 2 & 0 & 1 & 0 -2 & -2 & 0 & 1 1 & 2 & 0 & 0
Calculando o determinante dessa matriz, vemos que ele é diferente de zero, o que confirma que os vetores são independentes.

Resposta

Uma base para R^4 que inclui os vetores u e v é:
, (1, 2, -2, 1),; (1, 0, -2, 2),; (0, 1, 0, 0),; (0, 0, 1, 0) ,

Exercícios relacionados