Seja V o conjunto dos vetores geométricos do espaço. Sendo u um vetor fixo desse espaço, mostre que W=propto u mid propto in R é um subespaço vetorial de V

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que o conjunto é um subespaço vetorial do espaço dos vetores geométricos. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar verificar se satisfaz os três critérios que definem um subespaço vetorial: conter o vetor zero, ser fechado em relação à soma vetorial e ser fechado em relação à multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em . Isso significa encontrar se existe um escalar tal que . Se escolhermos , então , que é o vetor zero. Então, contém o vetor zero.

Passo 3

Agora, vamos ver se lambda1 u + lambda2 u = (lambda1 + lambda2)u é fechado em relação à soma de vetores. Vamos pegar dois vetores quaisquer em , digamos e . A soma deles é:
Como é um número real, o resultado pertence a . Então, �� fechado sob a soma vetorial.

Passo 4

Por último, vamos verificar se mu (lambda u) = (mu lambda) u é fechado em relação à multiplicação por escalar. Pegue um vetor qualquer em , seja , e multiplique por um escalar :
Como também é um número real, o resultado está em . Assim, é fechado sob a multiplicação por escalar.

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado sob a soma vetorial e sob a multiplicação por escalar, concluímos que é, de fato, um subespaço vetorial de .

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