Num espaço vetorial
com produto interno seja
um conjunto ortogonal de vetores não nulos. Mostre que
é L.I.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um espaço vetorial
que tem um produto interno. Temos um conjunto
de vetores que são ortogonais e todos são diferentes de zero. O que precisamos provar é que esse conjunto
é linearmente independente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de produto interno, ortogonalidade e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que um conjunto de vetores é linearmente independente. Isso quer dizer que, se tivermos uma combinação linear desses vetores igual a zero, os coeficientes dessa combinação devem ser todos zero.
Então, vamos supor que temos:
Nosso objetivo é mostrar que todos os
são iguais a zero.
Passo 3
Como os vetores
são ortogonais, sabemos que o produto interno de dois vetores diferentes é zero:
E, como todos são vetores não nulos, cada vetor
tem um produto interno consigo mesmo maior que zero:
Passo 4
Agora, vamos usar o produto interno para multiplicar ambos os lados da equação pela base
(onde
varia de 1 a
):
Passo 5
Aplicando a propriedade de linearidade do produto interno, temos:
Mas, pela ortogonalidade,
para
. Então, sobra apenas:
Passo 6
Como
(porque
não é o vetor zero), concluímos que:
Isso vale para todo
.
Resposta
Portanto, todos os coeficientes
são iguais a zero, o que mostra que o conjunto
é linearmente independente.