Num espaço vetorial E com produto interno seja X=u1, cdots, un um conjunto ortogonal de vetores não nulos. Mostre que X é L.I.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um espaço vetorial que tem um produto interno. Temos um conjunto de vetores que são ortogonais e todos são diferentes de zero. O que precisamos provar é que esse conjunto é linearmente independente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de produto interno, ortogonalidade e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que um conjunto de vetores é linearmente independente. Isso quer dizer que, se tivermos uma combinação linear desses vetores igual a zero, os coeficientes dessa combinação devem ser todos zero.
Então, vamos supor que temos:
c1 u1 + c2 u2 + dots + cn un = 0
Nosso objetivo é mostrar que todos os são iguais a zero.

Passo 3

Como os vetores lang<= ui, uj rang<= = 0 para i neq j são ortogonais, sabemos que o produto interno de dois vetores diferentes é zero:
lang<= ui, ui rang<= > 0
E, como todos são vetores não nulos, cada vetor tem um produto interno consigo mesmo maior que zero:

Passo 4

Agora, vamos usar o produto interno para multiplicar ambos os lados da equação pela base lang<= c1 u1 + c2 u2 + dots + cn un, uk rang<= = lang<= 0, uk rang<= = 0 (onde varia de 1 a ):

Passo 5

Aplicando a propriedade de linearidade do produto interno, temos:
c1 lang<= u1, uk rang<= + c2 lang<= u2, uk rang<= + dots + cn lang<= un, uk rang<= = 0
Mas, pela ortogonalidade, ck lang<= uk, uk rang<= = 0 para . Então, sobra apenas:

Passo 6

Como ck = 0 (porque não é o vetor zero), concluímos que:
Isso vale para todo .

Resposta

Portanto, todos os coeficientes são iguais a zero, o que mostra que o conjunto é linearmente independente.

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