Verifique se o conjunto B é base do espaço vetorial V. B=(1,2,3),(3,2,1),(1,1,1) e V=R^3.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que foi pedido! A gente quer saber se o conjunto é uma base para o espaço vetorial . Isso envolve entender dois conceitos principais: independência linear e span (ou seja, se os vetores de conseguem “preencher” todo o espaço ). Para resolver isso, vamos precisar saber como verificar se um conjunto de vetores é linearmente independente, usando determinantes de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os vetores de A = 1 & 3 & 1 2 & 2 & 1 3 & 1 & 1 em uma matriz. Cada vetor será uma coluna dessa matriz:

Passo 3

Agora, para verificar se os vetores são linearmente independentes, calculamos o determinante dessa matriz det(A) = 1 cdot (2 cdot 1 - 1 cdot 1) - 3 cdot (2 cdot 1 - 3 cdot 1) + 1 cdot (2 cdot 1 - 3 cdot 2) . Se o determinante for diferente de zero, significa que os vetores são independentes e, portanto, formam uma base para det(A) = 1 cdot (2 - 1) - 3 cdot (2 - 3) + 1 cdot (2 - 6) .
O determinante de det(A) = 1 cdot 1 - 3 cdot (-1) + 1 cdot (-4) é calculado assim:
det(A) = 1 + 3 - 4 = 0

Resposta

Como o determinante de é zero, os vetores de não são linearmente independentes. Portanto, o conjunto não é uma base para o espaço vetorial .

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