Q7: Considere as afirmativas abaixo:
I - Se uma matriz quadrada não tem autovetores então ela tem inversa.
II - Se \vec{v} \neq \overrightarrow{0} pertence à imagem de A, então \vec{v} é um autovetor de A.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado apresenta duas afirmativas sobre uma matriz quadrada A e pede que escolhamos qual alternativa está correta entre:
I - “Se uma matriz quadrada não tem autovetores então ela tem inversa.”
II - “Se \vec{v} \neq \overrightarrow{0} pertence à imagem de A, então \vec{v} é um autovetor de A.”
Informações dadas:
  • Temos uma matriz quadrada A (tamanho não especificado).
  • As afirmativas I e II são proposições sobre existência de autovetores, imagem e inversibilidade.
  • O objetivo é decidir quais dessas afirmativas são verdadeiras ou falsas e escolher a alternativa correta entre (A), (B), (C), (D).

Passo 2

Antes de atacar as afirmativas, vamos relembrar com calma os conceitos que vamos usar (explicando cada símbolo):
  • Definição de autovetor e autovalor: um vetor \vec{x} não-nulo é autovetor de A se existe um escalar \lambda tal que
A\vec{x}=\lambda\vec{x}.
Aqui \lambda é o autovalor associado a \vec{x}. Importante: \vec{x} deve ser diferente de \overrightarrow{0}.
  • Núcleo (kernel) e imagem (coluna): \ker(A)=\{\vec{x}\mid A\vec{x}=\overrightarrow{0}\}. \operatorname{Im}(A)=\{A\vec{x}\mid \vec{x}\in\mathbb{R}^n\} (o espaço gerado pelas colunas de A).
  • Inversibilidade: A é inversível (tem inversa) se existe A^{-1} tal que AA^{-1}=A^{-1}A=I. Equivalente a \det(A)\neq 0 e também a \ker(A)=\{\overrightarrow{0}\} (ou seja, apenas o vetor zero vai para zero).
    Comentário intuitivo: se A não é inversível (é singular), existe \vec{0}\neq\vec{v} com A\vec{v}=\vec{0}, e então esse \vec{v} é um autovetor com autovalor 0.

Passo 3

Analisando a afirmativa I: “Se uma matriz quadrada não tem autovetores então ela tem inversa.”
Estratégia: usar a contraposição lógica. A implicação P\Rightarrow Q é verdadeira se e somente se a contraposita \neg Q\Rightarrow \neg P for verdadeira. Aqui P = “matriz não tem autovetores” e Q = “matriz tem inversa”. A contraposita é: “Se a matriz não tem inversa (ou seja, é singular), então ela tem autovetores.”
Mostramos a contraposita diretamente: se A não é inversível, então \ker(A) contém algum \vec{v}\neq\overrightarrow{0}. Para esse \vec{v} temos
A\vec{v}=\overrightarrow{0}=0\cdot\vec{v},
ou seja, \vec{v} é um autovetor associado ao autovalor \lambda=0. Portanto qualquer matriz singular tem um autovetor (não-nulo). Logo a contraposita é verdadeira, e por isso a afirmação I é verdadeira: se uma matriz não tem autovetores então ela não pode ser singular, logo tem inversa.
Observação didática: esse argumento não usa nada exótico — só a equivalência entre singularidade e existência de vetor não-nulo no kernel. Se ficar confuso: pensar “não inversível → existe v ≠ 0 tal que Av=0 → v é autovetor com λ=0”. Então inverter a lógica dá I verdadeira.

Passo 4

Analisando a afirmativa II: “Se \vec{v} \neq \overrightarrow{0} pertence à imagem de A, então \vec{v} é um autovetor de A.”
Isto está afirmando que todo vetor não-nulo na imagem de A necessariamente satisfaz A\vec{v}=\lambda\vec{v} para algum \lambda. Isso parece forte — vamos procurar um contraexemplo simples (uma matriz onde existe \vec{v}\in\operatorname{Im}(A) que NÃO é autovetor).
Contraexemplo prático e muito simples: considere a rotação de 90^\circ no plano, dada pela matriz
R=\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
  • Essa matriz é inversível (determinante \det(R)=1), então \operatorname{Im}(R)=\mathbb{R}^2 (ou seja, todo vetor do plano pertence à imagem).
  • Tome \vec{v}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}. Esse \vec{v} pertence à imagem (porque a imagem é todo \mathbb{R}^2).
  • Calcule R\vec{v}:
R\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
O vetor \begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix} não é múltiplo escalar de \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}. Portanto não existe \lambda\in\mathbb{R} tal que R\vec{v}=\lambda\vec{v}. Assim \vec{v} não é autovetor de R.
  • Conclusão: existe \vec{v}\neq\overrightarrow{0} na imagem de A que não é autovetor, logo a afirmativa II é falsa.
Comentário: esse é um contraexemplo bem direto. Outra maneira de ver é que matrizes invertíveis têm imagem inteira, mas nem toda matriz invertível tem autovetores reais (por exemplo rotações de ângulo não-nulo múltiplo de 90^\circ dependendo do campo), então não faz sentido que todo vetor da imagem fosse autovetor. Portanto II é falsa.]

Passo 5

Resumo final do raciocínio:
  • I é verdadeira (contraposição com vetor no kernel dando autovetor de valor 0).
  • II é falsa (contraexemplo: matriz de rotação 90^\circ mostra vetor na imagem que não é autovetor).
Logo a alternativa correta é a que diz “Só I é verdadeira”.

Resposta

(B) Só I é verdadeira.

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