Q7: Considere as afirmativas abaixo:
I - Se uma matriz quadrada não tem autovetores então ela tem inversa.
II - Se
pertence à imagem de
, então
é um autovetor de
.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
I - Se uma matriz quadrada não tem autovetores então ela tem inversa.
II - Se
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado apresenta duas afirmativas sobre uma matriz quadrada
e pede que escolhamos qual alternativa está correta entre:
I - “Se uma matriz quadrada não tem autovetores então ela tem inversa.”
II - “Se pertence à imagem de
, então
é um autovetor de
.”
I - “Se uma matriz quadrada não tem autovetores então ela tem inversa.”
II - “Se
Informações dadas:
- Temos uma matriz quadrada
(tamanho não especificado). - As afirmativas I e II são proposições sobre existência de autovetores, imagem e inversibilidade.
- O objetivo é decidir quais dessas afirmativas são verdadeiras ou falsas e escolher a alternativa correta entre (A), (B), (C), (D).
Passo 2
Antes de atacar as afirmativas, vamos relembrar com calma os conceitos que vamos usar (explicando cada símbolo):
- Definição de autovetor e autovalor: um vetor
não-nulo é autovetor de se existe um escalar tal que
Aqui
é o autovalor associado a
. Importante:
deve ser diferente de
.
- Núcleo (kernel) e imagem (coluna):
. (o espaço gerado pelas colunas de ). - Inversibilidade:
é inversível (tem inversa) se existe tal que . Equivalente a e também a (ou seja, apenas o vetor zero vai para zero).
Comentário intuitivo: senão é inversível (é singular), existe com , e então esse é um autovetor com autovalor .
Passo 3
Analisando a afirmativa I: “Se uma matriz quadrada não tem autovetores então ela tem inversa.”
Estratégia: usar a contraposição lógica. A implicação
é verdadeira se e somente se a contraposita
for verdadeira. Aqui
= “matriz não tem autovetores” e
= “matriz tem inversa”. A contraposita é: “Se a matriz não tem inversa (ou seja, é singular), então ela tem autovetores.”
Mostramos a contraposita diretamente: se
não é inversível, então
contém algum
. Para esse
temos
ou seja,
é um autovetor associado ao autovalor
. Portanto qualquer matriz singular tem um autovetor (não-nulo). Logo a contraposita é verdadeira, e por isso a afirmação I é verdadeira: se uma matriz não tem autovetores então ela não pode ser singular, logo tem inversa.
Observação didática: esse argumento não usa nada exótico — só a equivalência entre singularidade e existência de vetor não-nulo no kernel. Se ficar confuso: pensar “não inversível → existe v ≠ 0 tal que Av=0 → v é autovetor com λ=0”. Então inverter a lógica dá I verdadeira.
Passo 4
Analisando a afirmativa II: “Se
pertence à imagem de
, então
é um autovetor de
.”
Isto está afirmando que todo vetor não-nulo na imagem de
necessariamente satisfaz
para algum
. Isso parece forte — vamos procurar um contraexemplo simples (uma matriz onde existe
que NÃO é autovetor).
Contraexemplo prático e muito simples: considere a rotação de
no plano, dada pela matriz
- Essa matriz é inversível (determinante
), então (ou seja, todo vetor do plano pertence à imagem). - Tome
. Esse pertence à imagem (porque a imagem é todo ). - Calcule
:
O vetor
não é múltiplo escalar de
. Portanto não existe
tal que
. Assim
não é autovetor de
.
- Conclusão: existe
na imagem de que não é autovetor, logo a afirmativa II é falsa.
Comentário: esse é um contraexemplo bem direto. Outra maneira de ver é que matrizes invertíveis têm imagem inteira, mas nem toda matriz invertível tem autovetores reais (por exemplo rotações de ângulo não-nulo múltiplo de
dependendo do campo), então não faz sentido que todo vetor da imagem fosse autovetor. Portanto II é falsa.]
Passo 5
Resumo final do raciocínio:
- I é verdadeira (contraposição com vetor no kernel dando autovetor de valor
). - II é falsa (contraexemplo: matriz de rotação
mostra vetor na imagem que não é autovetor).
Logo a alternativa correta é a que diz “Só I é verdadeira”.
Resposta
(B) Só I é verdadeira.