Encontre, em cada caso, o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências dadas:
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} x^{2 n}.

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n}.
O conteúdo envolve séries de potências, o teste da razão para determinar o raio e a análise dos extremos do intervalo.

Passo 2

Para aplicar o teste da razão, considere o termo geral
\displaystyle a_{n}(x)=(-1)^{n}x^{2n}.
Então
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}(x)}{a_{n}(x)}\right| =\lim_{n\to\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}x^{2(n+1)}}{(-1)^{n}x^{2n}}\right| =\lim_{n\to\infty}|x|^{2} =|x|^{2}.
A condição de convergência pelo teste da razão é |x|^{2}<1, ou seja, |x|<1.
Portanto, o raio de convergência é R=1.

Passo 3

Agora, teste os extremos x=1 e x=-1. Em ambos os casos tem-se x^{2n}=1, de modo que o termo geral vira (-1)^{n}. Como
\lim_{n\to\infty}(-1)^{n}
não existe (não tende a zero), a série diverge em x=1 e em x=-1.

Passo 4

Concluímos que a série converge apenas para -1<x<1, sem incluir os extremos.

Resposta

O raio de convergência é R=1 e o intervalo de convergência é (-1,1).

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