Seja
uma função tal que ( 0,0 ) é um ponto de acumulação de seu domínio. Sabe-se que para quaisquer valores de
e
, com
.
Seja
uma curva tal que
e
.
Sabendo-se que
, o que se pode dizer sobre
quando
? E quando
?
Musportno:
-
. (Podem ser aplicadas as propriedades algébricas de limite).
-
. (O numerador e denominador podem ser multiplicados por
, depois separa-se como produto de dois limites. Para calcular um desses limites, toma-se
e a propriedade que relaciona
com
, e aplica-se o limite trigonométrico fundamental).
-
, pois tendendo-se pelas curvas
e
, os limites são diferentes.
-
, idem ao 3 .
-
, pois tendendo-se pela curva
, o limite tende a
(ou
, tende a
).
-
, pois tendendo-se pela curvas
e
, os limites são diferentes.
-
. (O numerador e denominador podem ser multiplicados por
, depois separa-se como produto de dois limites. Para calcular um desses limites, toma-se
e a propriedade que relaciona
com
, e calcula-se um limite trigonométrico).
-
. (Escrevendo como diferença de limites, em cada um pode ser aplicado o teorema do anulamento).
-
, pois tendendo-se pela curva
, o limite tende
(ou
, tende
).
-
, pois tendendo-se pela curva
, esse limite não existe.
-
. (Pode ser aplicado o teorema do anulamento).
-
, verifique que as curvas de nível de
tendem a interseção em
, tomando-se o limite por duas delas, os limites são diferentes.
-
, idem ao 12 .
-
. (Pode ser aplicado o teorema do anulamento).
-
. (O numerador e denominador podem ser multiplicados por
, depois separa-se como produto de dois limites. Para calcular um desses limites, toma-se
e a propriedade que relaciona
com
, e aplica-se o limite trigonométrico fundamental).
-
, toma-se
e a propriedade que relaciona
com
, e aplica-se a regra de L’Hôpital.
-
. (A função pode ser escrita como soma de duas funções, uma delas é simplificada e igual a 1. Para calcular o limite da outra função pode ser aplicado o teorema do anulamento).
-
, pois tendendo-se pela curva
, esse limite não existe.
-
-
-
-
-
-
(Para mostrar, separa-se o domínio em três partes: em
e
aplicam-se as propriedades de continuidade. Em
é preciso calcular dois limites, onde em um deles a função é nula, logo o limite é nulo; para calcular o outro limite toma-se
e a propriedade que relaciona
(aqui
) com
.
-
(idem ao 24.)
- Sim. É composta de contínuas.
- Quando
, pode-se afirmar que
pois os limites são diferentes por duas curvas distintas, a curva
e qualquer reta
.
Quando
, nada se pode afirmar, pois o fato de que o limite pela curva
e por todas as retas
serem iguais a 0 , não impede que exista outra curva
onde o limite tenha valor diferente de 0 .
Um exemplo onde o limite não é igual a 0: a função do exercício 13. satisfaz todas as condições, tanto pelas retas, quanto pela curva
o limite é igual a 0 , no entanto foi visto que o limite nem existe.
Seja
Sabendo-se que
Quando
Um exemplo onde o limite não é igual a 0: a função do exercício 13. satisfaz todas as condições, tanto pelas retas, quanto pela curva
Passo 1
O enunciado trata do limite de uma função de duas variáveis
no ponto . Sabemos que, para qualquer reta
parametrizada por
com
, vale
no ponto
Além disso, existe uma outra curva
, com
, ao longo da qual
.
Queremos concluir o que acontece com
nos dois casos: e
.
Queremos concluir o que acontece com
nos dois casos:
Passo 2
Suponha
. Para que o limite
exista, ele teria de ser o mesmo tomando-se qualquer caminho de aproximação. Mas pelas retas o limite é igual a
, enquanto pela curva
obtivemos
. Como
, os valores ao longo de duas curvas distintas são diferentes, e portanto não pode haver limite comum.
exista, ele teria de ser o mesmo tomando-se qualquer caminho de aproximação. Mas pelas retas
Passo 3
Suponha
. A informação garante que em todas as retas
e nessa curva
o limite vale
, mas isso não encerra todos os caminhos possíveis em
. Pode haver outra curva
ao longo da qual o limite seja diferente de
. Logo, mesmo sendo todos esses caminhos iguais a zero, isso não basta para concluir que
existe.
existe.
Resposta
Quando
, o limite
não existe, pois há pelo menos dois caminhos (as retas e
) com limites distintos.
Quando , não se pode afirmar se o limite existe ou não: saber que várias curvas dão limite zero não impede que haja alguma outra curva cuja aproximação produza valor diferente.
Quando