A função f tal que f(x, y)=|x+y-1| é contínua?

Passo 1

O enunciado pede para verificar a continuidade da função de duas variáveis definida por
f(x,y) = \lvert x + y - 1\rvert.
O conteúdo é continuidade de funções de várias variáveis. Vamos usar que soma e subtração de funções contínuas é contínua, e que o valor absoluto é continuação em toda reta.

Passo 2

Definimos a função auxiliar
g(x,y) = x + y - 1.
Aqui g é obtida somando as projeções (x,y)\mapsto x e (x,y)\mapsto y (que são contínuas) e subtraindo a constante 1. Logo, g é contínua em todo \mathbb{R}^2.

Passo 3

A função valor absoluto
h(t) = \lvert t\rvert
é contínua em todo \mathbb{R}. Portanto, a composição
f(x,y) = h\bigl(g(x,y)\bigr)
é contínua em todo ponto de \mathbb{R}^2, pois compõe duas funções contínuas.

Resposta

Sim. A função f(x,y)=\lvert x+y-1\rvert é contínua em \mathbb{R}^2.

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