Encontre o centro de massa do fio dado pela curva C com a densidade f(x, y) : C é o segmento de 1,0 ate (0,1), f(x,y)=y;

Passo 1

Então, a gente tem um fio que segue uma linha reta do ponto 1,0 até o ponto 0,1. A densidade desse fio varia de acordo com a função . Nosso objetivo é encontrar o centro de massa desse fio. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração ao longo de uma curva para calcular massa e momentos. Vamos precisar parametrizar a curva, calcular a massa total e os momentos em relação aos eixos, e então determinar as coordenadas do centro de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva C. Como C é uma linha reta de 1,0 a 0,1, podemos usar um parâmetro t que varia de 0 a 1 para descrever qualquer ponto na curva. A parametrização fica assim:

Passo 3

Agora, precisamos calcular o elemento de comprimento . Para isso, usamos a fórmula:
Calculando as derivadas:
Então,

Passo 4

Vamos calcular a massa total M do fio usando a função densidade :
Substituindo e :
Calculando a integral:

Passo 5

Agora vamos calcular o momento em relação ao eixo x, que nos ajudará a encontrar a coordenada y_bar do centro de massa:
Substituindo e :
Calculando a integral:

Passo 6

Agora vamos calcular o momento em relação ao eixo y, que nos ajudará a encontrar a coordenada do centro de massa:
Substituindo , e :
Calculando a integral:

Resposta

O centro de massa do fio está nas coordenadas:

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