Utilize a representação da série geométrica para obter uma representação em séries de potências para as seguintes funções. Determine o raio de convergência.
f(x) = x^2 / (1 - x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar a série geométrica para transformar a função em uma série de potências. Além disso, precisamos descobrir qual é o raio de convergência dessa série, ou seja, até onde a série é válida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série geométrica. É uma soma infinita que tem a forma:
Isso é válido quando o valor absoluto de é menor que 1 ( ). Esse tipo de série é muito útil para representar funções como séries de potências.

Passo 3

Olha só a função que a gente quer representar:
Aqui, podemos ver que ela se parece muito com a forma da série geométrica. Se compararmos com a fórmula da série geométrica, percebemos que .

Passo 4

Aplicando a série geométrica à nossa função, temos:
Agora, como nossa função é , basta multiplicar ambos os lados da equação por :

Passo 5

Podemos simplificar a soma ajustando o índice de . Ao escrever como o expoente, notamos que a série começa a partir de :

Passo 6

Agora, sobre o raio de convergência, lembramos que a série geométrica converge quando . Como a nossa série é apenas essa série multiplicada por , o raio de convergência continua o mesmo:

Resposta

A representação em série de potências da função é
e o raio de convergência dessa série é .

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