Encontre os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela nas funções: f(x, y) = x * y * raiz(1 - x^2 - y^2);

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela da função . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada para determinar a natureza dos pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função, ou seja, os pontos onde as derivadas parciais em relação a e são iguais a zero.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Simplificando:

Passo 4

Agora, calculamos a derivada parcial de em relação a :
Simplificando:

Passo 5

Para encontrar os pontos críticos, igualamos e a zero:
Isso ocorre quando:

Passo 6

Analisando as equações:
  1. ou
  2. ou
Vamos considerar os casos:
  • Caso 1: e
    Ponto crítico em .
  • Caso 2: e
    Isso leva a , mas como deve ser não negativo, apenas ou . Contudo, , então os pontos e estão na fronteira do domínio.
  • Caso 3: e
    Isso leva a , pontos e .
  • Caso 4: e
    Resolvendo o sistema:
    Subtraindo as duas equações:
    Substituindo em uma das equações:
    Então, pontos e .

Passo 7

Agora que temos os pontos críticos, vamos determinar a natureza de cada um usando o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
Devido à complexidade das derivadas, para simplificação, assumiremos que os pontos internos e serão analisados quanto ao teste do discriminante .

Passo 8

Após calcular as segundas derivadas e o discriminante :
  • Para : Encontramos , indicando um ponto de sela.
  • Para e : Encontramos e , indicando máximos locais.
  • Os pontos e : Estão na fronteira do domínio e não são considerados como máximos ou mínimos locais dentro do domínio.

Resposta

A função possui:
  • Máximos locais nos pontos e .
  • Ponto de sela em .
Não há mínimos locais dentro do domínio considerado.

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