Encontre o centróide da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
(g)
.
(g)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o centróide da região que está delimitada pelas equações
e
. Isso está relacionado ao cálculo do centróide em Geometria Analítica, que envolve integrais para encontrar as coordenadas médias da área. Para resolver isso, vamos precisar calcular a área da região e então usar as fórmulas do centróide que envolvem integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde essas duas curvas se encontram, ou seja, os pontos de interseção. Isso nos dá os limites de integração. Igualando
a
:
Então, os limites de integração são de
a
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a área
da região limitada pelas curvas. A fórmula para a área entre duas curvas
e
de
a
é:
Aqui,
e
. Então:
Passo 4
Vamos resolver essa integral:
Então, a área
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a coordenada
do centróide. A fórmula para
é:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Então:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a coordenada
do centróide. A fórmula para
é:
Substituindo os valores:
Passo 8
Vamos resolver essa integral:
Então:
Resposta
O centróide da região é
.