Encontre o centróide da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
(g) y = 2x - x^2, y = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o centróide da região que está delimitada pelas equações e . Isso está relacionado ao cálculo do centróide em Geometria Analítica, que envolve integrais para encontrar as coordenadas médias da área. Para resolver isso, vamos precisar calcular a área da região e então usar as fórmulas do centróide que envolvem integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde essas duas curvas se encontram, ou seja, os pontos de interseção. Isso nos dá os limites de integração. Igualando a :
Então, os limites de integração são de a .

Passo 3

Agora, vamos calcular a área da região limitada pelas curvas. A fórmula para a área entre duas curvas e de a é:
Aqui, e . Então:

Passo 4

Vamos resolver essa integral:
Então, a área .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a coordenada do centróide. A fórmula para é:
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos resolver a integral:
Então:

Passo 7

Agora, vamos encontrar a coordenada do centróide. A fórmula para é:
Substituindo os valores:

Passo 8

Vamos resolver essa integral:
Então:

Resposta

O centróide da região é .

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