Encontre o comprimento do arco do gráfico da equação dada de P até Q ou no intervalo especificado.
(d) y = 2/3 * (x^2 + 1)^(3/2) ; [1, 4].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento do arco da função no intervalo de até . Para isso, vamos usar o conceito de cálculo que nos permite calcular o comprimento de curvas, que envolve derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular o comprimento de um arco de uma função de até :
Isso significa que precisamos encontrar a derivada de em relação a , quadrá-la, somar 1, tirar a raiz quadrada e então integrar esse resultado de 1 a 4.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de em relação a . A função dada é:
Usando a regra da cadeia para derivar, temos:

Passo 4

Agora, vamos elevar a derivada ao quadrado:
Simplificando:

Passo 5

Substituímos esse resultado na fórmula do comprimento do arco:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar:
Calculando cada parte:

Resposta

O comprimento do arco da função no intervalo de a é 45 unidades.

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