Encontre o comprimento do arco do gráfico da equação dada de
até
ou no intervalo especificado.
(d)
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento do arco da função
no intervalo de
até
. Para isso, vamos usar o conceito de cálculo que nos permite calcular o comprimento de curvas, que envolve derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular o comprimento de um arco de uma função
de
até
:
Isso significa que precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, quadrá-la, somar 1, tirar a raiz quadrada e então integrar esse resultado de 1 a 4.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
em relação a
. A função dada é:
Usando a regra da cadeia para derivar, temos:
Passo 4
Agora, vamos elevar a derivada ao quadrado:
Simplificando:
Passo 5
Substituímos esse resultado na fórmula do comprimento do arco:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar:
Calculando cada parte:
Resposta
O comprimento do arco da função no intervalo de
a
é 45 unidades.