Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelos gráficos das equações e/ou desigualdades em torno do eixo indicado. Esboce a região e um retângulo representativo.
(d) y = raiz(x - 1), y = 0, x = 5; o eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o volume de um sólido que é formado ao girar uma região em torno do eixo . A região está limitada pelas curvas , (que é o eixo ) e . Para resolver isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é uma técnica que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução de uma forma bem intuitiva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é a região que estamos girando. A curva inicia em porque dentro da raiz quadrada não pode ter número negativo. Então, nossa região vai de até , e de até .

Passo 3

Como vamos girar em torno do eixo , o método das cascas cilíndricas é perfeito. A fórmula para o volume usando esse método é:
Aqui, é a distância do eixo de rotação (no caso, o eixo ), e é a altura da casca, que é a função que está sendo rodada, ou seja, .

Passo 4

Vamos então identificar os limites de integração. Nossa região vai de até , então:

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja , então e quando , ; quando , . Substituindo na integral:
Isso fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, substituindo de volta:

Passo 7

Agora, vamos calcular esses valores de :
Somando esses resultados:

Resposta

Então, o volume do sólido gerado é:
ú

Exercícios relacionados