Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelos gráficos das equações e/ou desigualdades em torno do eixo indicado. Esboce a região e um retângulo representativo.
(d)
; o eixo
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o volume de um sólido que é formado ao girar uma região em torno do eixo
. A região está limitada pelas curvas
,
(que é o eixo
) e
. Para resolver isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é uma técnica que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução de uma forma bem intuitiva.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é a região que estamos girando. A curva
inicia em
porque dentro da raiz quadrada não pode ter número negativo. Então, nossa região vai de
até
, e de
até
.
Passo 3
Como vamos girar em torno do eixo
, o método das cascas cilíndricas é perfeito. A fórmula para o volume usando esse método é:
Aqui,
é a distância do eixo de rotação (no caso, o eixo
), e
é a altura da casca, que é a função que está sendo rodada, ou seja,
.
Passo 4
Vamos então identificar os limites de integração. Nossa região vai de
até
, então:
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja
, então
e quando
,
; quando
,
. Substituindo na integral:
Isso fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, substituindo de volta:
Passo 7
Agora, vamos calcular esses valores de
:
Somando esses resultados:
Resposta
Então, o volume do sólido gerado é: