Encontre o centroide da região delimitada pelos gráficos de f(x)=\operatorname{sen}(2 x) e g(x)=\operatorname{sen} x, com 0 \leq x \leq \frac{\pi}{3}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o centroide (centro de massa geométrico) da região plana delimitada pelas curvas f(x)=\sin(2x) e g(x)=\sin x no intervalo 0 \le x \le \dfrac{\pi}{3}.
Informações dadas:
  • Funções: f(x)=\sin(2x) e g(x)=\sin x.
  • Intervalo: x\in\left[0,\dfrac{\pi}{3}\right].
  • A região é a área entre essas duas curvas para x nesse intervalo.
O que se pede:
  • As coordenadas do centroide \big(\bar{x},\bar{y}\big) da região descrita.

Passo 2

Fórmulas que vamos usar (explicando cada termo):
  • Área da região entre duas curvas: A=\int_{a}^{b}\big(y_{\text{top}}(x)-y_{\text{bottom}}(x)\big)\,dx,
onde y_{\text{top}} é a função que fica acima (maior) no intervalo e y_{\text{bottom}} a de baixo.
  • Coordenada x-do-centroide (primeiro momento em relação ao eixo y dividido pela área): \bar{x}=\frac{1}{A}\int_{a}^{b} x\big(y_{\text{top}}(x)-y_{\text{bottom}}(x)\big)\,dx.
Intuição: multiplica-se cada “tira” de área pela sua abscissa x e divide-se pelo total.
  • Coordenada y-do-centroide (primeiro momento em relação ao eixo x dividido pela área): \bar{y}=\frac{1}{2A}\int_{a}^{b}\big(y_{\text{top}}(x)^{2}-y_{\text{bottom}}(x)^{2}\big)\,dx.
Intuição: vem da fórmula da primeira momento em y, obtida integrando a altura média da tira (média dos dois y) vezes a largura; simplifica para essa expressão com quadrados.
Antes de integrar, temos que identificar qual função é a superior (top) e qual é a inferior (bottom) no intervalo.

Passo 3

Determinar qual curva está por cima em \left(0,\dfrac{\pi}{3}\right).
Calcule a diferença:
\sin(2x)-\sin x = \sin x\big(2\cos x - 1\big).
Para x\in\left(0,\dfrac{\pi}{3}\right) temos \sin x>0 e \cos x\ge\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}, então 2\cos x-1\ge0. Portanto \sin(2x)-\sin x\ge0 no intervalo, com zeros em x=0 e x=\dfrac{\pi}{3}. Conclusão: para 0<x<\dfrac{\pi}{3} temos \sin(2x)\ge\sin x. Assim:
  • y_{\text{top}}(x)=\sin(2x),
  • y_{\text{bottom}}(x)=\sin x.

Passo 4

Calcular a área A:
A=\int_{0}^{\pi/3}\big(\sin(2x)-\sin x\big)\,dx.
Calcule as primitivas separadamente:
\int \sin(2x)\,dx = -\tfrac{1}{2}\cos(2x),\qquad \int \sin x\,dx = -\cos x.
Logo
A=\Big[-\tfrac{1}{2}\cos(2x)+\cos x\Big]_{0}^{\pi/3}.
Avalie nos extremos:
\cos\!\left(\tfrac{2\pi}{3}\right)=-\tfrac{1}{2},\qquad \cos\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac{1}{2},\qquad \cos 0=1.
Então
A=\Big(-\tfrac{1}{2}\cdot(-\tfrac{1}{2})+\tfrac{1}{2}\Big)-\Big(-\tfrac{1}{2}\cdot 1 + 1\Big) = \Big(\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{2}\Big)-\Big(-\tfrac{1}{2}+1\Big) = \tfrac{3}{4}-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{4}.

Passo 5

Calcular \bar{x}=\dfrac{1}{A}\int_{0}^{\pi/3} x\big(\sin(2x)-\sin x\big)\,dx.
Como A=\tfrac{1}{4}, tem-se \bar{x}=4\displaystyle\int_{0}^{\pi/3} x\big(\sin(2x)-\sin x\big)\,dx.
Separe em duas integrais:
I_1=\int_{0}^{\pi/3} x\sin(2x)\,dx,\qquad I_2=\int_{0}^{\pi/3} x\sin x\,dx,
então \bar{x}=4(I_1-I_2).
Calcule I_1 por partes. Fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Escolha u=x (então du=dx) e dv=\sin(2x)\,dx (então v=-\tfrac{1}{2}\cos(2x)). Assim
I_1 = \Big[-\tfrac{1}{2}x\cos(2x)\Big]_{0}^{\pi/3} + \tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi/3}\cos(2x)\,dx.
A integral restante é \int \cos(2x)\,dx=\tfrac{1}{2}\sin(2x). Então
I_1 = -\tfrac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{3}\cos\!\left(\tfrac{2\pi}{3}\right) + \tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\Big[\sin(2x)\Big]_{0}^{\pi/3}.
Usando \cos(2\pi/3)=-\tfrac{1}{2} e \sin(2\pi/3)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, obtemos
I_1 = -\tfrac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{3}\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right) + \tfrac{1}{4}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{8}.
Agora calcule I_2 por partes: tome u=x, dv=\sin x\,dx então v=-\cos x. Assim
I_2 = \Big[-x\cos x\Big]_{0}^{\pi/3} + \int_{0}^{\pi/3}\cos x\,dx = -\frac{\pi}{3}\cos\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right) + \Big[\sin x\Big]_{0}^{\pi/3}.
Usando \cos(\pi/3)=\tfrac{1}{2} e \sin(\pi/3)=\tfrac{\sqrt{3}}{2},
I_2 = -\frac{\pi}{3}\cdot\tfrac{1}{2} + \tfrac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}.
Agora I_1-I_2:
I_1-I_2 = \left(\frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{8}\right) - \left(-\frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{8}-\frac{\sqrt{3}}{2}.
Some as frações de \pi: \dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{2\pi}{12}=\dfrac{3\pi}{12}=\dfrac{\pi}{4}.
Para os termos com \sqrt{3}: \dfrac{\sqrt{3}}{8}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\!\left(\dfrac{1}{8}-\dfrac{4}{8}\right)=-\dfrac{3\sqrt{3}}{8}.
Portanto
I_1-I_2=\frac{\pi}{4}-\frac{3\sqrt{3}}{8}.
Finalmente
\bar{x}=4\left(\frac{\pi}{4}-\frac{3\sqrt{3}}{8}\right)=\pi-\frac{3\sqrt{3}}{2}.

Passo 6

Calcular \bar{y}=\dfrac{1}{2A}\displaystyle\int_{0}^{\pi/3}\big(\sin^{2}(2x)-\sin^{2}x\big)\,dx.
Como A=\tfrac{1}{4}, temos 2A=\tfrac{1}{2} e portanto \dfrac{1}{2A}=2. Assim
\bar{y}=2\int_{0}^{\pi/3}\big(\sin^{2}(2x)-\sin^{2}x\big)\,dx.
Use a identidade trigonométrica \sin^{2}t=\dfrac{1-\cos(2t)}{2}. Então
\sin^{2}(2x)-\sin^{2}x = \frac{1-\cos(4x)}{2}-\frac{1-\cos(2x)}{2} = \frac{\cos(2x)-\cos(4x)}{2}.
Substituindo em \bar{y}:
\bar{y}=2\int_{0}^{\pi/3}\frac{\cos(2x)-\cos(4x)}{2}\,dx =\int_{0}^{\pi/3}\big(\cos(2x)-\cos(4x)\big)\,dx.
Calcule as primitivas: \int \cos(2x)\,dx=\tfrac{1}{2}\sin(2x) e \int \cos(4x)\,dx=\tfrac{1}{4}\sin(4x). Portanto
\bar{y}=\Big[\tfrac{1}{2}\sin(2x)-\tfrac{1}{4}\sin(4x)\Big]_{0}^{\pi/3}.
Avalie nos extremos. Em x=\dfrac{\pi}{3} temos \sin(2x)=\sin\!\left(\tfrac{2\pi}{3}\right)=\tfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin(4x)=\sin\!\left(\tfrac{4\pi}{3}\right)=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Em x=0 as senos são zero. Assim
\bar{y}=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}-\tfrac{1}{4}\cdot\left(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{8} = \frac{3\sqrt{3}}{8}.

Passo 7

Verificação rápida (número aproximado para garantir que faz sentido):
\bar{x}\approx 3{,}1416 - \frac{3\cdot1{,}73205}{2}\approx 0{,}5435,\qquad \bar{y}\approx \frac{3\cdot1{,}73205}{8}\approx 0{,}6495.
Estão dentro da região: 0<\bar{x}<\dfrac{\pi}{3} e 0<\bar{y}<\dfrac{\sqrt{3}}{2}, o que é coerente.

Resposta

\bar{x}=\pi-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}
\bar{y}=\dfrac{3\sqrt{3}}{8}

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