Encontre o centroide da região delimitada pelos gráficos de
e
, com
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o centroide (centro de massa geométrico) da região plana delimitada pelas curvas
e
no intervalo
.
Informações dadas:
- Funções:
e . - Intervalo:
. - A região é a área entre essas duas curvas para
nesse intervalo.
O que se pede:
- As coordenadas do centroide
da região descrita.
Passo 2
Fórmulas que vamos usar (explicando cada termo):
- Área da região entre duas curvas:
onde
é a função que fica acima (maior) no intervalo e
a de baixo.
- Coordenada
-do-centroide (primeiro momento em relação ao eixo dividido pela área):
Intuição: multiplica-se cada “tira” de área pela sua abscissa
e divide-se pelo total.
- Coordenada
-do-centroide (primeiro momento em relação ao eixo dividido pela área):
Intuição: vem da fórmula da primeira momento em
, obtida integrando a altura média da tira (média dos dois
) vezes a largura; simplifica para essa expressão com quadrados.
Antes de integrar, temos que identificar qual função é a superior (top) e qual é a inferior (bottom) no intervalo.
Passo 3
Determinar qual curva está por cima em
.
Calcule a diferença:
Para
temos
e
, então
. Portanto
no intervalo, com zeros em
e
. Conclusão: para
temos
. Assim:
-
, -
.
Passo 4
Calcular a área
:
Calcule as primitivas separadamente:
Logo
Avalie nos extremos:
Então
Passo 5
Calcular
.
Como , tem-se
.
Como
Separe em duas integrais:
então
.
Calcule
por partes. Fórmula de integração por partes:
Escolha
(então
) e
(então
). Assim
A integral restante é
. Então
Usando
e
, obtemos
Agora calcule
por partes: tome
,
então
. Assim
Usando
e
,
Agora
:
Some as frações de
:
.
Para os termos com :
.
Portanto
Para os termos com
Portanto
Finalmente
Passo 6
Calcular
.
Como
, temos
e portanto
. Assim
Use a identidade trigonométrica
. Então
Substituindo em
:
Calcule as primitivas:
e
. Portanto
Avalie nos extremos. Em
temos
e
. Em
as senos são zero. Assim
Passo 7
Verificação rápida (número aproximado para garantir que faz sentido):
Estão dentro da região:
e
, o que é coerente.