Encontre os cinco primeiros termos de cada sequência abaixo:
x_{n}=\frac{3 n}{n!}, n \geq 1

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os cinco primeiros termos da sequência
x_{n}=\frac{3n}{n!},\quad n\ge 1.
Informações dadas:
  • A fórmula geral da sequência é x_{n}=\dfrac{3n}{n!}.
  • Queremos os termos para n=1,2,3,4,5.

Passo 2

Lembra do que é fatorial: para um inteiro k\ge1 define-se
k! = k\cdot (k-1)\cdot (k-2)\cdots 2\cdot 1,
e por definição 1!=1. Vou calcular os fatoriais necessários:
1! = 1, \qquad 2! = 2\cdot1=2, \qquad 3! = 3\cdot2\cdot1=6,
4! = 4\cdot3\cdot2\cdot1=24, \qquad 5! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120.
Esses valores são os denominadores que vamos usar em cada termo.

Passo 3

Agora calculo cada termo substituindo n e usando os fatoriais que acabei de obter.
Para n=1:
x_{1}=\frac{3\cdot 1}{1!}=\frac{3}{1}=3.
Para n=2:
x_{2}=\frac{3\cdot 2}{2!}=\frac{6}{2}=3.

Passo 4

Continuando para n=3,4,5:
Para n=3:
x_{3}=\frac{3\cdot 3}{3!}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}=1,5.
Para n=4:
x_{4}=\frac{3\cdot 4}{4!}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}=0,5.
Para n=5:
x_{5}=\frac{3\cdot 5}{5!}=\frac{15}{120}=\frac{1}{8}=0,125.

Passo 5

Dica para a prova: calcule primeiro os n! pequenos (1!, 2!, 3!, …) e depois substitua. Simplifique frações antes de transformar em decimal se quiser. Note que, à medida que n cresce, n! cresce muito rápido, então x_n tende a ficar pequeno (vai para zero quando n\to\infty) — isso pode ser útil em questões sobre convergência.

Resposta

3,\\\ 3,\\ \dfrac{3}{2},\\ \dfrac{1}{2},\\ \dfrac{1}{8}

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