Encontre os cinco primeiros termos de cada sequência abaixo:
y_{n}=\frac{(-1)^{n}(n+1)}{3 n}, n \geq 1

Passo 1

Vamos deixar claro o que o enunciado nos dá e o que pede. O enunciado fornece a sequência
y_{n}=\frac{(-1)^{n}(n+1)}{3 n},\qquad n\ge 1.
O que é pedido: encontrar os cinco primeiros termos da sequência, isto é calcular y_{1},y_{2},y_{3},y_{4},y_{5}.

Passo 2

Entendendo a fórmula: a expressão tem duas partes principais.
  • O fator (-1)^{n} alterna o sinal: (-1)^{n}= -1 quando n é ímpar e (-1)^{n}=+1 quando n é par.
  • O fator \dfrac{n+1}{3n} é uma fração racional que pode, às vezes, ser simplificada.
    Na prática, para cada n basta:
  1. determinar o sinal olhando para (-1)^{n};
  2. calcular \dfrac{n+1}{3n};
  3. multiplicar o sinal pelo valor da fração e simplificar, se possível.

Passo 3

Calcular y_{1} (substituir n=1).
(-1)^{1}=-1.
\frac{n+1}{3n}\Big|_{n=1}=\frac{1+1}{3\cdot1}=\frac{2}{3}.
Multiplicando pelo sinal:
y_{1}= -1\cdot\frac{2}{3} = -\frac{2}{3}.

Passo 4

Calcular y_{2} (substituir n=2).
(-1)^{2}=+1.
\frac{n+1}{3n}\Big|_{n=2}=\frac{2+1}{3\cdot2}=\frac{3}{6}.
Simplificando \dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}. Logo
y_{2}=+1\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.

Passo 5

Calcular y_{3} (substituir n=3).
(-1)^{3}=-1.
\frac{n+1}{3n}\Big|_{n=3}=\frac{3+1}{3\cdot3}=\frac{4}{9}.
Multiplicando pelo sinal:
y_{3}=-\frac{4}{9}.

Passo 6

Calcular y_{4} (substituir n=4).
(-1)^{4}=+1.
\frac{n+1}{3n}\Big|_{n=4}=\frac{4+1}{3\cdot4}=\frac{5}{12}.
Esse já está na forma irredutível, então
y_{4}=\frac{5}{12}.

Passo 7

Calcular y_{5} (substituir n=5).
(-1)^{5}=-1.
\frac{n+1}{3n}\Big|_{n=5}=\frac{5+1}{3\cdot5}=\frac{6}{15}.
Simplificando \dfrac{6}{15} dividindo numerador e denominador por 3 obtemos \dfrac{2}{5}. Multiplicando pelo sinal:
y_{5}=-\frac{2}{5}.

Passo 8

Recapitulando a regra que usamos: para cada n verificou-se se n é par ou ímpar (para o sinal via (-1)^{n}), calculou-se \dfrac{n+1}{3n} e simplificou-se a fração. Esse procedimento é direto e dá os primeiros termos da sequência.

Resposta

y_{1}=-\dfrac{2}{3}
y_{2}=\dfrac{1}{2}
y_{3}=-\dfrac{4}{9}
y_{4}=\dfrac{5}{12}
y_{5}=-\dfrac{2}{5}

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