Encontre os cinco primeiros termos de cada sequência abaixo:
z_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}, n \geq 1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os cinco primeiros termos da sequência definida por \,z_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n},\; n\geq 1\,.
Informações fornecidas:
  • A fórmula geral de cada termo é \,z_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}.
  • Deve-se calcular explicitamente z_{1},z_{2},z_{3},z_{4},z_{5}.

Passo 2

Entendendo a sequência: cada termo z_{n} é a soma das primeiras n frações harmônicas. Vou calcular termo a termo, somando uma fração de cada vez. Relembrando como somar frações: para \frac{a}{b}+\frac{c}{d} usa-se o denominador comum \,bd e obtém-se \frac{ad+bc}{bd}, simplificando quando possível.

Passo 3

Calcular \,z_{1}.
z_{1}=1.

Passo 4

Calcular \,z_{2} a partir de \,z_{1}.
z_{2}=1+\frac{1}{2}.
Colocando em denominador comum 2:
1=\frac{2}{2}\quad\Rightarrow\quad z_{2}=\frac{2}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.

Passo 5

Calcular \,z_{3} a partir de \,z_{2}.
z_{3}=z_{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{2}+\frac{1}{3}.
Denominador comum 6:
\frac{3}{2}=\frac{9}{6},\qquad \frac{1}{3}=\frac{2}{6},
z_{3}=\frac{9}{6}+\frac{2}{6}=\frac{11}{6}.

Passo 6

Calcular \,z_{4} a partir de \,z_{3}.
z_{4}=z_{3}+\frac{1}{4}=\frac{11}{6}+\frac{1}{4}.
Denominador comum 12:
\frac{11}{6}=\frac{22}{12},\qquad \frac{1}{4}=\frac{3}{12},
z_{4}=\frac{22}{12}+\frac{3}{12}=\frac{25}{12}.

Passo 7

Calcular \,z_{5} a partir de \,z_{4}.
z_{5}=z_{4}+\frac{1}{5}=\frac{25}{12}+\frac{1}{5}.
Denominador comum 60:
\frac{25}{12}=\frac{125}{60},\qquad \frac{1}{5}=\frac{12}{60},
z_{5}=\frac{125}{60}+\frac{12}{60}=\frac{137}{60}.

Resposta

z_{1}=1
z_{2}=\dfrac{3}{2}
z_{3}=\dfrac{11}{6}
z_{4}=\dfrac{25}{12}
z_{5}=\dfrac{137}{60}

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