Encontre e classifique os máximos e mínimos de
, onde
é o domínio de
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida no disco fechado
Para encontrar e classificar extremos em
usamos dois estágios: (i) pontos críticos no interior via
e Hessiana; (ii) extremos no contorno
por multiplicadores de Lagrange. Como
é compacto e
é contínua, existem extremos absolutos.
Passo 2
No interior de
impomos
Dessas equações obtemos o único ponto crítico interior
A Hessiana de
é
que é definida positiva. Logo
é ponto de mínimo local. Seu valor é
Passo 3
No contorno
definimos
e calculamos
Da segunda equação vem
, isto é, ou
ou
.
Caso
em
dá
.
Caso
em
resulta
, ou seja
, e da circunferência
Avaliações de
nesses pontos:
Passo 4
Comparando todos os valores:
o menor é em
, logo ali está o mínimo absoluto (e local).
O maior é em
, logo ali está o máximo absoluto (e local sobre o contorno).
Os pontos são mínimos locais no contorno (mas não absolutos).
O ponto é estacionário no contorno mas não extrema.
o menor é
O maior é
Os pontos
O ponto
Resposta
O mínimo absoluto em
ocorre em
com
.
O máximo absoluto em ocorre em
com
.
Além disso, há mínimos locais no contorno em com
, e
é ponto estacionário no contorno sem ser extremo.
O máximo absoluto em
Além disso, há mínimos locais no contorno em