Encontre e classifique os máximos e mínimos de f(x, y)=2 x^{2}+x+y^{2}-2, D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 4\right\}, onde D é o domínio de f.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=2x^{2}+x+y^{2}-2
definida no disco fechado
D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le4\}.
Para encontrar e classificar extremos em D usamos dois estágios: (i) pontos críticos no interior via \nabla f=0 e Hessiana; (ii) extremos no contorno x^{2}+y^{2}=4 por multiplicadores de Lagrange. Como D é compacto e f é contínua, existem extremos absolutos.

Passo 2

No interior de D impomos
\frac{\partial f}{\partial x}=4x+1=0,\quad \frac{\partial f}{\partial y}=2y=0.
Dessas equações obtemos o único ponto crítico interior
(x,y)=\Bigl(-\tfrac14,0\Bigr).
A Hessiana de f é
H=\begin{pmatrix}4&0\\\ 0&2\end{pmatrix},
que é definida positiva. Logo \bigl(-\tfrac14,0\bigr) é ponto de mínimo local. Seu valor é
f\bigl(-\tfrac14,0\bigr) =2\Bigl(-\tfrac14\Bigr)^{2}+(-\tfrac14)+0-2 =\tfrac18-\tfrac14-2 =-\tfrac{17}{8}.

Passo 3

No contorno x^{2}+y^{2}=4 definimos
L(x,y,\lambda) =2x^{2}+x+y^{2}-2-\lambda\,(x^{2}+y^{2}-4)
e calculamos
\frac{\partial L}{\partial x}=4x+1-2\lambda x=0,\quad \frac{\partial L}{\partial y}=2y-2\lambda y=0,\quad x^{2}+y^{2}=4.
Da segunda equação vem y(2-2\lambda)=0, isto é, ou y=0 ou \lambda=1.
Caso y=0 em x^{2}=4 x=\pm2.
Caso \lambda=1 em (4-2\lambda)x=-1 resulta 2x=-1, ou seja x=-\tfrac12, e da circunferência
\Bigl(-\tfrac12\Bigr)^{2}+y^{2}=4 \quad\Longrightarrow\quad y=\pm\frac{\sqrt{15}}{2}.
Avaliações de f nesses pontos:
f(2,0)=8,\quad f(-2,0)=4,\quad f\Bigl(-\tfrac12,\pm\frac{\sqrt{15}}{2}\Bigr) =\frac74.

Passo 4

Comparando todos os valores:
o menor é -\tfrac{17}{8} em \bigl(-\tfrac14,0\bigr), logo ali está o mínimo absoluto (e local).
O maior é 8 em (2,0), logo ali está o máximo absoluto (e local sobre o contorno).
Os pontos \bigl(-\tfrac12,\pm\tfrac{\sqrt{15}}{2}\bigr) são mínimos locais no contorno (mas não absolutos).
O ponto (-2,0) é estacionário no contorno mas não extrema.

Resposta

O mínimo absoluto em D ocorre em \displaystyle\bigl(-\tfrac14,0\bigr) com f=-\tfrac{17}{8}.
O máximo absoluto em D ocorre em \,(2,0) com f=8.
Além disso, há mínimos locais no contorno em \displaystyle\bigl(-\tfrac12,\pm\tfrac{\sqrt{15}}{2}\bigr) com f=\tfrac74, e (-2,0) é ponto estacionário no contorno sem ser extremo.

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