Dadas as funções abaixo, calcule os limites indicados, se os limites existirem; se os limites não existirem, especifique a razão.
  1. f(x)= \begin{cases}x^{2} & \text { se } x \leq 1 \\\\ 2 x-1 & \text { se } x>1\end{cases}
a) \lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}
b) \lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}
c) \lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= \begin{cases} x^2 & \text{se } x\le1,\\\\ 2x-1 & \text{se } x>1, \end{cases}
e pede os limites
\lim_{x\to1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1},
\lim_{x\to1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}
e \lim_{x\to1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}.
Isto é uma diferença quociente, parecido com o cálculo da derivada em x=1. Vamos simplificar cada ramo e avaliar os limites laterais.

Passo 2

Primeiro, calculamos f(1). Como 1\le1, usamos f(x)=x^2. Logo
f(1)=1^2=1.

Passo 3

Para o limite pela direita ( x\to1^+), temos x>1 e então f(x)=2x-1. Portanto
f(x)-f(1)=2x-1-1=2x-2=2(x-1)
e
\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=2.
Logo
\lim_{x\to1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=2.

Passo 4

Para o limite pela esquerda ( x\to1^-), temos x\le1 e f(x)=x^2. Assim
f(x)-f(1)=x^2-1=(x-1)(x+1)
e
\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=x+1\to2.
Logo
\lim_{x\to1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=2.

Passo 5

Como os limites laterais coincidem e valem 2, o limite bilateral existe e é 2.

Resposta

a) 2
b) 2
c) 2

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