e pede os limites \lim_{x\to1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}, \lim_{x\to1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}
e \lim_{x\to1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}.
Isto é uma diferença quociente, parecido com o cálculo da derivada em x=1. Vamos simplificar cada ramo e avaliar os limites laterais.
Passo 2
Primeiro, calculamos f(1). Como 1\le1, usamos f(x)=x^2. Logo
f(1)=1^2=1.
Passo 3
Para o limite pela direita (x\to1^+), temos x>1 e então f(x)=2x-1. Portanto
f(x)-f(1)=2x-1-1=2x-2=2(x-1)
e
\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=2.
Logo
\lim_{x\to1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=2.
Passo 4
Para o limite pela esquerda (x\to1^-), temos x\le1 e f(x)=x^2. Assim
f(x)-f(1)=x^2-1=(x-1)(x+1)
e
\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=x+1\to2.
Logo
\lim_{x\to1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=2.
Passo 5
Como os limites laterais coincidem e valem 2, o limite bilateral existe e é 2.