Encontre e classifique os pontos críticos de:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos da função dada. As informações fornecidas são:
- A função é
. - A tarefa: (i) determinar os pontos críticos (onde o gradiente é nulo) e (ii) classificar cada ponto crítico (mínimo, máximo ou sela).
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função usando a notação quadrática usual (para ficar claro):
Explicando um conceito importante (passo-a-passo): um ponto crítico é um ponto
onde as derivadas parciais de
em relação a
e a
são simultaneamente zero. Essas derivadas parciais formam o gradiente
.
Passo 3
Calcule as derivadas parciais de [f).
Derivada parcial em relação a
:
Derivada parcial em relação a
:
Agora igualamos ambas a zero para achar os pontos críticos:
Resolvendo cada equação:
Portanto o ponto crítico é (\bigl(-1,2\bigr)].]
Passo 4
Para classificar o ponto crítico usamos a matriz Hessiana
, que contém as segundas derivadas parciais. Para uma função de duas variáveis a matriz Hessiana é:
onde
,
e
.
Calcule as segundas derivadas:
Assim a Hessiana é constante:
Passo 5
Agora aplicamos o teste de segunda derivada (caso
): calcule o discriminante
Substituindo os valores:
Regras do teste para
:
- Se
e então é mínimo local. - Se
e então é máximo local. - Se
então é ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
Aqui
e
. Logo o ponto
é um mínimo local.
Passo 6
Além disso, convém mostrar de forma mais direta que esse mínimo é global: complete o quadrado na expressão de
.
Calculando:
Somando:
Portanto
Esta forma mostra que
é soma de quadrados, sempre
para todo
, e
somente quando
e
, isto é em
. Assim o mínimo é global e o valor mínimo é
.
Resposta
Ponto crítico:
Classificação: mínimo (local e global)
Valor mínimo:
Classificação: mínimo (local e global)
Valor mínimo: