Encontre e classifique os pontos críticos de:
f(x, y)=x^{\wedge} 2+y^{\wedge} 2+2 x-4 y+5

Passo 1

O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos da função dada. As informações fornecidas são:
  • A função é f(x,y)=x^{\wedge} 2+y^{\wedge} 2+2 x-4 y+5.
  • A tarefa: (i) determinar os pontos críticos (onde o gradiente é nulo) e (ii) classificar cada ponto crítico (mínimo, máximo ou sela).

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função usando a notação quadrática usual (para ficar claro):
f(x,y)=x^{2}+y^{2}+2x-4y+5.
Explicando um conceito importante (passo-a-passo): um ponto crítico é um ponto (x,y) onde as derivadas parciais de f em relação a x e a y são simultaneamente zero. Essas derivadas parciais formam o gradiente \nabla f.

Passo 3

Calcule as derivadas parciais de [f).
Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x+2.
Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}=2y-4.
Agora igualamos ambas a zero para achar os pontos críticos:
\begin{cases} 2x+2=0,\\[4pt] 2y-4=0. \end{cases}
Resolvendo cada equação:
2x+2=0 \;\Rightarrow\; x=-1, \qquad 2y-4=0 \;\Rightarrow\; y=2.
Portanto o ponto crítico é (\bigl(-1,2\bigr)].]

Passo 4

Para classificar o ponto crítico usamos a matriz Hessiana H, que contém as segundas derivadas parciais. Para uma função de duas variáveis a matriz Hessiana é:
H(x,y)=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\[4pt] f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix},
onde f_{xx}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}, f_{yy}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} e f_{xy}=f_{yx}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}.
Calcule as segundas derivadas:
f_{xx}= \frac{\partial}{\partial x}(2x+2)=2, \qquad f_{yy}= \frac{\partial}{\partial y}(2y-4)=2, \qquad f_{xy}= \frac{\partial}{\partial y}(2x+2)=0.
Assim a Hessiana é constante:
H=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora aplicamos o teste de segunda derivada (caso 2\times2): calcule o discriminante
D = f_{xx}\,f_{yy}-\bigl(f_{xy}\bigr)^{2}.
Substituindo os valores:
D = 2\cdot 2 - 0^{2} = 4.
Regras do teste para 2\times2:
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então é mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então é máximo local.
  • Se D<0 então é ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.
Aqui D=4>0 e f_{xx}=2>0. Logo o ponto \bigl(-1,2\bigr) é um mínimo local.

Passo 6

Além disso, convém mostrar de forma mais direta que esse mínimo é global: complete o quadrado na expressão de f.
Calculando:
(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1, \qquad (y-2)^{2}=y^{2}-4y+4.
Somando:
(x+1)^{2}+(y-2)^{2}=x^{2}+y^{2}+2x-4y+5=f(x,y).
Portanto
f(x,y)=(x+1)^{2}+(y-2)^{2}.
Esta forma mostra que f é soma de quadrados, sempre f(x,y)\ge 0 para todo (x,y), e f(x,y)=0 somente quando x+1=0 e y-2=0, isto é em \bigl(-1,2\bigr). Assim o mínimo é global e o valor mínimo é 0.

Resposta

Ponto crítico: \bigl(-1,2\bigr)
Classificação: mínimo (local e global)
Valor mínimo: 0

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