Considere a sequência a_{1}=2, a_{2}=3 e a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}, para n \geq 3.
Prove, por indução em n, que
a_{n}>\left(\frac{8}{5}\right)^{n}, \text { para todo } n \geq 1

Passo 1

O enunciado dá uma sequência definida por:
  • a_{1}=2,
  • a_{2}=3,
  • a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2} para n\ge 3.
O que se pede: provar, por indução em n, que
a_{n}>\left(\frac{8}{5}\right)^{n}\quad\text{para todo }n\ge 1.

Passo 2

Breve explicação da técnica que vamos usar (indução adequada ao caso):
  • Em provas por indução normalmente verificamos casos base e depois mostramos que, se a propriedade vale para um certo n-1, então vale para n.
  • Como a recorrência aqui envolve dois termos anteriores (é de ordem 2), precisamos garantir os dois casos base ( n=1 e n=2) e, na etapa indutiva, assumir a desigualdade tanto para n-1 quanto para n-2. Essa forma é às vezes chamada de indução forte ou indução por completo; é totalmente válida e natural quando a definição recursiva usa mais de um termo anterior.

Passo 3

Verificação dos casos base:
  • Para n=1: calcular e comparar.
a_{1}=2,\qquad \left(\frac{8}{5}\right)^{1}=\frac{8}{5}=1{,}6,
logo a_{1}=2>\frac{8}{5}. Portanto o caso n=1 é verdadeiro.
  • Para n=2: calcular e comparar.
a_{2}=3,\qquad \left(\frac{8}{5}\right)^{2}=\frac{64}{25}=2{,}56,
logo a_{2}=3>\frac{64}{25}. Portanto o caso n=2 também é verdadeiro.

Passo 4

Hipótese indutiva (passo indutivo):
Seja k\ge 3. Suponha, como hipótese indutiva, que as desigualdades
a_{k-1}>\left(\frac{8}{5}\right)^{k-1} \qquad\text{e}\qquad a_{k-2}>\left(\frac{8}{5}\right)^{k-2}
são verdadeiras. A tarefa é mostrar que dessa hipótese decorre
a_{k}>\left(\frac{8}{5}\right)^{k}.

Passo 5

Usar a recorrência e manipular a desigualdade:
Pela definição da sequência,
a_{k}=a_{k-1}+a_{k-2}.
Pelo que assumimos na hipótese indutiva,
a_{k}> \left(\frac{8}{5}\right)^{k-1}+\left(\frac{8}{5}\right)^{k-2}.
Fatando \left(\frac{8}{5}\right)^{k-2} obtemos
a_{k}> \left(\frac{8}{5}\right)^{k-2}\left(\frac{8}{5}+1\right) = \left(\frac{8}{5}\right)^{k-2}\cdot\frac{13}{5}.
Agora comparo o fator \dfrac{13}{5} com \left(\dfrac{8}{5}\right)^{2}:
\frac{13}{5}=\frac{65}{25}>\frac{64}{25}=\left(\frac{8}{5}\right)^{2}.
Portanto
\left(\frac{8}{5}\right)^{k-2}\cdot\frac{13}{5} >\left(\frac{8}{5}\right)^{k-2}\cdot\left(\frac{8}{5}\right)^{2} =\left(\frac{8}{5}\right)^{k}.
Juntando as desigualdades obtemos
a_{k}>\left(\frac{8}{5}\right)^{k},
que é exatamente o que queríamos provar no passo indutivo.

Passo 6

Conclusão por indução:
Tendo verificado os casos base n=1,2 e mostrando que, para todo k\ge 3, a validade da propriedade para k-1 e k-2 implica sua validade para k, segue por indução forte que
a_{n}>\left(\frac{8}{5}\right)^{n}\quad\text{para todo }n\ge 1.
Bom trabalho — essa técnica de usar as duas hipóteses anteriores é padrão para recorrências de segunda ordem; a constante 8/5 funciona porque \dfrac{13}{5}>\left(\dfrac{8}{5}\right)^{2}, o que garante o fechamento da desigualdade no passo indutivo.

Resposta

a_{n}>\left(\frac{8}{5}\right)^{n}\quad\text{para todo }n\ge 1.

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