Resolva as equações diferenciais indicadas
(t^{2}-x) d t-tdx=0
(t^{2}-x) d t-tdx=0
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede para resolvê‑la, ou seja, encontrar a relação entre
e
que satisfaz essa igualdade. As informações explícitas que temos são:
- A equação diferencial exata escrita em termos de diferenciais
e . - Nenhuma condição inicial foi dada, então busca‑se a solução geral com constante de integração.
O objetivo aqui é obter a solução geral
em função de
(ou uma forma implícita equivalente), cuidando de pontos singulares (por exemplo
).
Passo 2
Primeiro vou reorganizar a equação para expressar
, porque isso torna clara a forma da equação. A equação dada é
Passando o termo com
para o outro lado:
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
) e por
(mais adiante trataremos
separadamente), obtemos
Agora simplifico a fração:
Passo 3
Identifico a equação como uma equação diferencial linear de primeira ordem para
em função de
. A forma padrão de uma equação linear de primeira ordem é
onde
e
são funções conhecidas de
.
Comparando com
, reescrevo como
Assim, aqui temos
Comentário didático rápido: uma equação é “linear” em
quando
e suas derivadas aparecem apenas de forma linear (sem produtos
, nem
, etc.). A vantagem é que existe um procedimento padrão (fator integrante) que resolve sempre esse tipo de equação.
Passo 4
Vou aplicar o método do fator integrante. A ideia é multiplicar a equação por uma função
tal que o lado esquerdo se torne a derivada de um produto simples
. O fator integrante é dado por
No nosso caso
, então
Para simplificar, podemos escolher
assumindo
(o sinal absoluto pode ser absorvido na constante de integração final). Portanto tomo
Explicando com calma: o fator integrante transforma a equação de modo que se possa escrever o lado esquerdo como
. É um truque que vem diretamente da regra do produto.
Passo 5
Multiplico a equação linear por
. A equação original reescrita era
Multiplicando por
:
Agora reconheço o lado esquerdo como a derivada do produto
, porque pela regra do produto
Logo a equação fica
Passo 6
Integro ambos os lados em relação a
. A integral da derivada no lado esquerdo é apenas o produto
, e a integral no lado direito é direta:
implica
onde
é a constante de integração (número arbitrário).
Comentário sobre constante: toda vez que integrarmos aparecerá uma constante arbitrária porque estamos buscando a família geral de soluções.
Passo 7
Isolo
para obter a solução explícita em função de
. Dividindo por
(novamente aqui assumindo
):
Essa é a solução geral para
em função de
, válida para
.
Também é útil escrever a solução em forma implícita mais compacta. Multiplicando a solução explícita por
e rearranjando obtemos
que é a mesma família de curvas escrita implicitamente.
Passo 8
Discussão sobre
(ponto singular) e verificação: a dedução usou divisão por
, por isso a solução explícita não está definida em
. Precisamos checar se existe alguma solução especial envolvendo
.
-
Se alguém quiser uma função
contínua em , a expressão diverge a menos que . Se , a solução especial estende-se passando por com . -
Notando também a forma diferencial original: se tentarmos tratar
como constante zero identicamente, isto não faz sentido como “variável independente” — portanto a análise usual é considerar como variável independente e aceitar que é um ponto singular onde a técnica precisa de cuidado. A solução geral apresentada cobre todos os casos para e a escolha dá a solução regular que passa por .
Por fim, sempre é bom verificar: derivando a solução encontrada e substituindo na equação original confirma‑se que ela satisfaz a equação.
Resposta
ou, em forma implícita,
com
constante arbitrária e válida para
(a escolha
dá a solução regular que se estende por
).