Resolva as equações diferenciais indicadas
(t^{2}-x) d t-tdx=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
(t^{2}-x)\,dt - t\,dx = 0
e pede para resolvê‑la, ou seja, encontrar a relação entre x e t que satisfaz essa igualdade. As informações explícitas que temos são:
  • A equação diferencial exata escrita em termos de diferenciais dt e dx.
  • Nenhuma condição inicial foi dada, então busca‑se a solução geral com constante de integração.
O objetivo aqui é obter a solução geral x em função de t (ou uma forma implícita equivalente), cuidando de pontos singulares (por exemplo t=0).

Passo 2

Primeiro vou reorganizar a equação para expressar dx/dt, porque isso torna clara a forma da equação. A equação dada é
(t^{2}-x)\,dt - t\,dx = 0.
Passando o termo com dx para o outro lado:
(t^{2}-x)\,dt = t\,dx.
Dividindo ambos os lados por dt (assumindo dt\neq0) e por t (mais adiante trataremos t=0 separadamente), obtemos
\frac{dx}{dt} = \frac{t^{2}-x}{t}.
Agora simplifico a fração:
\frac{dx}{dt} = t - \frac{x}{t}.

Passo 3

Identifico a equação como uma equação diferencial linear de primeira ordem para x em função de t. A forma padrão de uma equação linear de primeira ordem é
\frac{dx}{dt} + p(t)\,x = q(t),
onde p(t) e q(t) são funções conhecidas de t.
Comparando com \displaystyle \frac{dx}{dt} = t - \frac{x}{t}, reescrevo como
\frac{dx}{dt} + \frac{1}{t}\,x = t.
Assim, aqui temos
p(t)=\frac{1}{t},\qquad q(t)=t.
Comentário didático rápido: uma equação é “linear” em x quando x e suas derivadas aparecem apenas de forma linear (sem produtos x\cdot x, nem \sin x, etc.). A vantagem é que existe um procedimento padrão (fator integrante) que resolve sempre esse tipo de equação.

Passo 4

Vou aplicar o método do fator integrante. A ideia é multiplicar a equação por uma função \mu(t) tal que o lado esquerdo se torne a derivada de um produto simples \dfrac{d}{dt}(\mu(t)\,x). O fator integrante é dado por
\mu(t) = \exp\!\left(\int p(t)\,dt\right).
No nosso caso p(t)=1/t, então
\mu(t)=\exp\!\left(\int \frac{1}{t}\,dt\right)=\exp(\ln|t|)=|t|.
Para simplificar, podemos escolher \mu(t)=t assumindo t\neq0 (o sinal absoluto pode ser absorvido na constante de integração final). Portanto tomo
\mu(t)=t.
Explicando com calma: o fator integrante transforma a equação de modo que se possa escrever o lado esquerdo como \dfrac{d}{dt}(\mu x). É um truque que vem diretamente da regra do produto.

Passo 5

Multiplico a equação linear por \mu(t)=t. A equação original reescrita era
\frac{dx}{dt} + \frac{1}{t}x = t.
Multiplicando por t:
t\frac{dx}{dt} + x = t^{2}.
Agora reconheço o lado esquerdo como a derivada do produto t x, porque pela regra do produto
\frac{d}{dt}(t x) = t\frac{dx}{dt} + x.
Logo a equação fica
\frac{d}{dt}(t x) = t^{2}.

Passo 6

Integro ambos os lados em relação a t. A integral da derivada no lado esquerdo é apenas o produto t x, e a integral no lado direito é direta:
\int \frac{d}{dt}(t x)\,dt = \int t^{2}\,dt
implica
t x = \frac{t^{3}}{3} + C,
onde C é a constante de integração (número arbitrário).
Comentário sobre constante: toda vez que integrarmos aparecerá uma constante arbitrária porque estamos buscando a família geral de soluções.

Passo 7

Isolo x para obter a solução explícita em função de t. Dividindo por t (novamente aqui assumindo t\neq0):
x = \frac{t^{2}}{3} + \frac{C}{t}.
Essa é a solução geral para x em função de t, válida para t\neq0.
Também é útil escrever a solução em forma implícita mais compacta. Multiplicando a solução explícita por t e rearranjando obtemos
t x - \frac{t^{3}}{3} = C,
que é a mesma família de curvas escrita implicitamente.

Passo 8

Discussão sobre t=0 (ponto singular) e verificação: a dedução usou divisão por t, por isso a solução explícita não está definida em t=0. Precisamos checar se existe alguma solução especial envolvendo t=0.
  • Se alguém quiser uma função x(t) contínua em t=0, a expressão \dfrac{C}{t} diverge a menos que C=0. Se C=0, a solução especial x(t)=t^{2}/3 estende-se passando por t=0 com x(0)=0.
  • Notando também a forma diferencial original: se tentarmos tratar t como constante zero identicamente, isto não faz sentido como “variável independente” — portanto a análise usual é considerar t como variável independente e aceitar que t=0 é um ponto singular onde a técnica precisa de cuidado. A solução geral apresentada cobre todos os casos para t\neq0 e a escolha C=0 dá a solução regular que passa por t=0.
Por fim, sempre é bom verificar: derivando a solução encontrada e substituindo na equação original confirma‑se que ela satisfaz a equação.

Resposta

x(t)=\frac{t^{2}}{3}+\frac{C}{t}
ou, em forma implícita,
t x - \frac{t^{3}}{3}=C,
com C constante arbitrária e válida para t\neq0 (a escolha C=0 dá a solução regular que se estende por t=0).

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