Encontre:
(a) o componente vetorial de \mathbf{F}=10 \mathbf{a}_{x}-6 \mathbf{a}_{y}+5 \mathbf{a}_{z} que é paralelo a \mathbf{G}=0,1 \mathbf{a}_{x}+0,2 \mathbf{a}_{y}+0,3 \mathbf{a}_{z}

Passo 1

O enunciado pede o componente de \mathbf F = 10\,\mathbf a_x - 6\,\mathbf a_y + 5\,\mathbf a_z paralelo a \mathbf G = 0,1\,\mathbf a_x + 0,2\,\mathbf a_y + 0,3\,\mathbf a_z.
O conteúdo aqui é projeção de vetor em outro, e a fórmula é
\mathrm{proj}_{\mathbf G}\mathbf F \;=\;\frac{\mathbf F\cdot\mathbf G}{\mathbf G\cdot\mathbf G}\,\mathbf G.

Passo 2

Calcular o produto escalar \mathbf F\cdot\mathbf G pela definição \sum F_iG_i:
\mathbf F\cdot\mathbf G = 10\cdot0,1 + (-6)\cdot0,2 + 5\cdot0,3 = 1 - 1,2 + 1,5 = 1,3.

Passo 3

Calcular o produto escalar \mathbf G\cdot\mathbf G:
\mathbf G\cdot\mathbf G = 0,1^2 + 0,2^2 + 0,3^2 = 0,01 + 0,04 + 0,09 = 0,14.

Passo 4

Aplicar a fórmula da projeção: o fator escalar é
\frac{\mathbf F\cdot\mathbf G}{\mathbf G\cdot\mathbf G} = \frac{1,3}{0,14} = \frac{65}{7}.
Multiplicando pela \mathbf G,
\mathrm{proj}_{\mathbf G}\mathbf F = \frac{65}{7}\bigl(0,1\,\mathbf a_x + 0,2\,\mathbf a_y + 0,3\,\mathbf a_z\bigr) = \frac{13}{14}\,\mathbf a_x + \frac{13}{7}\,\mathbf a_y + \frac{39}{14}\,\mathbf a_z.

Resposta

\mathrm{componente\\ paralela} = \frac{13}{14}\,\mathbf a_x + \frac{13}{7}\,\mathbf a_y + \frac{39}{14}\,\mathbf a_z.

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