Escreva uma expressão em componentes cartesianos para o vetor que se estende de \left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right) até \left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right) e determine a intensidade deste vetor.

Passo 1

O enunciado pede dois itens básicos de geometria vetorial em \mathbb{R}^3:
– escrever em componentes cartesianos o vetor que vai de (x_{1},y_{1},z_{1}) até (x_{2},y_{2},z_{2}), ou seja, usar a ideia de subtrair as coordenadas iniciais das finais;
– determinar a intensidade (norma) desse vetor, aplicando a fórmula do comprimento de um vetor em três dimensões.

Passo 2

Para obter o vetor \overrightarrow{P_{1}P_{2}} basta subtrair coordenada a coordenada. Denotando \overrightarrow{P_{1}P_{2}} = \vec{v}, temos
\vec{v} = \bigl(x_{2}-x_{1},\,y_{2}-y_{1},\,z_{2}-z_{1}\bigr).

Passo 3

A intensidade ou norma de \vec{v} é dada pela distância euclidiana em \mathbb{R}^3. Logo
\|\vec{v}\| = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2} + (y_{2}-y_{1})^{2} + (z_{2}-z_{1})^{2}}.

Resposta

O vetor em componentes cartesianos é
\overrightarrow{P_{1}P_{2}} = \bigl(x_{2}-x_{1},\,y_{2}-y_{1},\,z_{2}-z_{1}\bigr),
e sua intensidade é
\|\overrightarrow{P_{1}P_{2}}\| = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2} + (y_{2}-y_{1})^{2} + (z_{2}-z_{1})^{2}}.

Exercícios relacionados