1.81 Demonstre a ambiguidade que surge quando o produto vetorial é utilizado para se calcular o ângulo entre dois vetores, tentando encontrar o ângulo entre \mathbf{A}=3 \mathbf{a}_{x}-2 \mathbf{a}_{y}+4 \mathbf{a}_{z} e \mathbf{B}=2 \mathbf{a}_{x}+\mathbf{a}_{y}-2 \mathbf{a}_{z}. Esta ambiguidade surge quando o produto escalar é usado?
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a ambiguidade que aparece ao usar o produto vetorial para obter o ângulo entre \mathbf{A}=3\,\mathbf{a}_x -2\,\mathbf{a}_y +4\,\mathbf{a}_z e \mathbf{B}=2\,\mathbf{a}_x +1\,\mathbf{a}_y -2\,\mathbf{a}_z.
Vamos calcular primeiro o produto vetorial para achar \sin\theta e depois o produto escalar para achar \cos\theta.
A função \operatorname{arccos} em [0,180^\circ] dá sempre um único valor, sem ambiguidade.
Passo 4
Concluímos que ao usar o produto vetorial surge ambiguidade entre \theta e 180^\circ-\theta, enquanto o produto escalar fornece diretamente o ângulo correto e único em [0,180^\circ].