1.81 Demonstre a ambiguidade que surge quando o produto vetorial é utilizado para se calcular o ângulo entre dois vetores, tentando encontrar o ângulo entre \mathbf{A}=3 \mathbf{a}_{x}-2 \mathbf{a}_{y}+4 \mathbf{a}_{z} e \mathbf{B}=2 \mathbf{a}_{x}+\mathbf{a}_{y}-2 \mathbf{a}_{z}. Esta ambiguidade surge quando o produto escalar é usado?

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a ambiguidade que aparece ao usar o produto vetorial para obter o ângulo entre \mathbf{A}=3\,\mathbf{a}_x -2\,\mathbf{a}_y +4\,\mathbf{a}_z e \mathbf{B}=2\,\mathbf{a}_x +1\,\mathbf{a}_y -2\,\mathbf{a}_z.
Vamos calcular primeiro o produto vetorial para achar \sin\theta e depois o produto escalar para achar \cos\theta.

Passo 2

Calculemos o produto vetorial
\mathbf{A}\times\mathbf{B} =\begin{vmatrix} \mathbf{a}_x & \mathbf{a}_y & \mathbf{a}_z\\\\ 3 & -2 & 4\\\\ 2 & 1 & -2 \end{vmatrix} =\mathbf{a}_x( (-2)(-2)-4\cdot1 )-\mathbf{a}_y(3\cdot(-2)-4\cdot2)+\mathbf{a}_z(3\cdot1-(-2)\cdot2).
Isso dá
\mathbf{A}\times\mathbf{B} =\mathbf{a}_x(4-4)-\mathbf{a}_y(-6-8)+\mathbf{a}_z(3+4) =14\,\mathbf{a}_y+7\,\mathbf{a}_z.
O módulo é
|\mathbf{A}\times\mathbf{B}|=\sqrt{14^2+7^2}=\sqrt{245}=7\sqrt{5}.
Como |\mathbf{A}|=\sqrt{9+4+16}=\sqrt{29} e |\mathbf{B}|=3, temos
\sin\theta =\frac{|\mathbf{A}\times\mathbf{B}|}{|\mathbf{A}||\mathbf{B}|} =\frac{7\sqrt{5}}{3\sqrt{29}}\approx0,969.
Daí \theta pode ser
\theta_1=\arcsin(0,969)\approx75,7^\circ \quad\text{ou}\quad \theta_2=180^\circ-75,7^\circ=104,3^\circ.
Isso mostra a ambiguidade: o valor de \sin\theta não distingue \theta de 180^\circ-\theta.

Passo 3

Agora usemos o produto escalar para obter \cos\theta. Calculamos
\mathbf{A}\cdot\mathbf{B} =3\cdot2+(-2)\cdot1+4\cdot(-2)=6-2-8=-4.
Logo
\cos\theta =\frac{\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}}{|\mathbf{A}||\mathbf{B}|} =\frac{-4}{3\sqrt{29}}\approx-0,2475,
e
\theta=\operatorname{arccos}(-0,2475)\approx104,3^\circ.
A função \operatorname{arccos} em [0,180^\circ] dá sempre um único valor, sem ambiguidade.

Passo 4

Concluímos que ao usar o produto vetorial surge ambiguidade entre \theta e 180^\circ-\theta, enquanto o produto escalar fornece diretamente o ângulo correto e único em [0,180^\circ].

Resposta

Usando produto vetorial, obtém-se
\sin\theta\approx0,969\quad\Longrightarrow\quad \theta\approx75,7^\circ\\ \text{ou}\\\ 104,3^\circ
(Há ambiguidade).
Usando produto escalar, obtém-se
\cos\theta\approx-0,2475\quad\Longrightarrow\quad \theta\approx104,3^\circ
(nenhuma ambiguidade).

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