Encontre o comprimento de arco da curva,
σ(t) = t cos(t) i + t sen(t) j + t k, t = 0 a t = pi/2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o comprimento de arco de uma curva dada por uma função vetorial. Aqui, estamos trabalhando com cálculo, especificamente com o conceito de comprimento de arco de uma curva parametrizada. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco e calcular a derivada da função vetorial fornecida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento de arco de uma curva parametrizada. Se temos uma função vetorial , o comprimento de arco de até é dado por:
Aqui, é a derivada de em relação a , e representa a magnitude dessa derivada.

Passo 3

Vamos então encontrar a derivada da função vetorial . A função dada é:
Para derivar , derivamos cada componente em relação a :
Usando a regra do produto para as duas primeiras componentes:
E a derivada da terceira componente é simplesmente:
Então, a derivada da função vetorial é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a magnitude dessa derivada . A magnitude de um vetor é dada por:
Aplicando isso à :
Vamos simplificar os termos dentro da raiz:
Somando esses resultados e adicionando 1:
Observe que os termos e se cancelam. Então, temos:
Factorizando:
Sabemos que , então:
Portanto, a magnitude é:

Passo 5

Agora que temos , podemos calcular o comprimento de arco integrando de a :
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição trigonométrica ou em termos de funções elementares, mas ela não tem uma antiderivada simples. Portanto, podemos deixar a resposta em termos de integral definida ou calcular uma aproximação numérica.

Resposta

O comprimento de arco da curva de a é dado pela integral:
Se precisarmos de um valor numérico aproximado, podemos calcular essa integral usando métodos numéricos ou uma calculadora avançada.

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