Encontre o comprimento de arco da curva,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o comprimento de arco de uma curva dada por uma função vetorial. Aqui, estamos trabalhando com cálculo, especificamente com o conceito de comprimento de arco de uma curva parametrizada. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco e calcular a derivada da função vetorial fornecida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento de arco de uma curva parametrizada. Se temos uma função vetorial
, o comprimento de arco
de
até
é dado por:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
, e
representa a magnitude dessa derivada.
Passo 3
Vamos então encontrar a derivada da função vetorial
. A função dada é:
Para derivar
, derivamos cada componente em relação a
:
Usando a regra do produto para as duas primeiras componentes:
E a derivada da terceira componente é simplesmente:
Então, a derivada da função vetorial é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a magnitude dessa derivada
. A magnitude de um vetor
é dada por:
Aplicando isso à
:
Vamos simplificar os termos dentro da raiz:
Somando esses resultados e adicionando 1:
Observe que os termos e se cancelam. Então, temos:
Factorizando:
Sabemos que , então:
Portanto, a magnitude é:
Passo 5
Agora que temos
, podemos calcular o comprimento de arco
integrando de
a
:
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição trigonométrica ou em termos de funções elementares, mas ela não tem uma antiderivada simples. Portanto, podemos deixar a resposta em termos de integral definida ou calcular uma aproximação numérica.
Resposta
O comprimento de arco da curva
de
a
é dado pela integral:
Se precisarmos de um valor numérico aproximado, podemos calcular essa integral usando métodos numéricos ou uma calculadora avançada.