circledast Encontre o comprimento de arco da curva com equações paramétricas
x = t^3 e y = 2t^2
nos seguintes casos: (a) de t = 0 a t = 1; (b) de t = -2 a t = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre comprimento de arco de uma curva parametrizada. A gente tem as equações e . A matéria envolvida aqui é cálculo, especificamente o cálculo de comprimento de arco para curvas definidas por funções paramétricas. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco para parametrizações e fazer algumas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva parametrizada por e :
Isso significa que a gente vai precisar derivar e em relação a , colocar esses valores na fórmula e integrar de até .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas das funções e :
Para :
Para :

Passo 4

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Para simplificar a expressão dentro da raiz, podemos fatorar :
Como vamos integrar em intervalos específicos, podemos considerar positivo ou negativo conforme o caso.

Passo 5

Vamos agora resolver para cada caso:

a) De a :

Nesse intervalo, é sempre positivo, então . A integral fica:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição:
  • Deixe
  • Então,
Substituindo:
Integrando:
Calculando os valores:
Então:

b) De a :

Nesse intervalo, é negativo, então . A integral fica:
Fazendo a substituição similar:
  • Deixe
  • Então,
Como é negativo, será positivo. A integral fica:
Calculando os valores:
Então:

Resposta

(a) O comprimento de arco de a é aproximadamente 2,26 unidades.
(b) O comprimento de arco de a é aproximadamente 11,52 unidades.

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