Encontre o comprimento de arco da curva
.
Passo 1
Estamos tentando encontrar o comprimento de arco da curva definida por $ y = \ln(\cos x) $ no intervalo de $ 0 $ até $ \frac{\pi}{4} $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a fórmula para comprimento de arco de uma função.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma função $ y = f(x) $ entre dois pontos $ a $ e $ b $. A fórmula é:
Então, vamos precisar calcular a derivada de $ y $ em relação a $ x $.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de $ y = \ln(\cos x) $. Usando a regra da cadeia:
Passo 4
Agora que temos a derivada, vamos substituir na fórmula do comprimento de arco:
Sabemos que $ 1 + \tan^2 x = \sec^2 x $, então:
Passo 5
Agora, precisamos calcular a integral de $ \sec x $. A integral de $ \sec x $ é $ \ln|\sec x + \tan x| + C $. Aplicando isso aos limites:
Sabendo que $ \sec\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} $, $ \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 $, $ \sec(0) = 1 $ e $ \tan(0) = 0 $:
Resposta
O comprimento de arco da curva $ y = \ln(\cos x) $ de $ 0 $ até $ \frac{\pi}{4} $ é $ \ln(\sqrt{2} + 1) $.