Calcule a área da superficie gerada pela rotação do arco da curva
, em torno do eixo
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a área da superfície que é gerada quando o arco da curva $ y = \sqrt{1 - 4x^{2}} $ no intervalo de $ x = -\frac{1}{2} $ a $ x = \frac{1}{2} $ é rotacionado em torno do eixo $ x $.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo relacionados à área de superfícies de revolução. Precisaremos aplicar a fórmula da área de superfície gerada pela rotação de uma curva em torno do eixo $ x $.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula para calcular a área de uma superfície de revolução ao girar uma curva $ y = f(x) $ em torno do eixo $ x $:
Aqui, $ a $ e $ b $ são os limites de integração, que no nosso caso são $ -\frac{1}{2} $ e $ \frac{1}{2} $.
Passo 3
Agora, vamos identificar a função $ y $ e calcular sua derivada $ \frac{dy}{dx} $.
Nossa função é $ y = \sqrt{1 - 4x^{2}} $.
Vamos derivar $ y $ em relação a $ x $:
Passo 4
Agora que temos $ y $ e $ \frac{dy}{dx} $, vamos substituir esses valores na fórmula da área de superfície:
Simplificando dentro da raiz:
Portanto:
Passo 5
Observamos que a integral é simétrica em relação a $ x = 0 $, então podemos simplificar o cálculo multiplicando por 2 e considerando o intervalo de 0 a $ \frac{1}{2} $:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição trigonométrica ou utilizamos uma fórmula padrão de integração. Aqui, vamos usar a fórmula da integral de $ \sqrt{a + bx^{2}} $:
Neste caso, $ a = 1 $ e $ b = 12 $.
Passo 6
Aplicando a fórmula de integração:
Calculando nos limites:
Para $ x = \frac{1}{2} $:
Simplificando:
Para $ x = 0 $:
Portanto, a integral vale:
Resposta
A área da superfície gerada pela rotação do arco da curva em torno do eixo $ x $ é: