Calcule a área da superficie gerada pela rotação do arco da curva y=raiz1-4 x^2,-12 <= x <= 12, em torno do eixo x.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a área da superfície que é gerada quando o arco da curva $ y = \sqrt{1 - 4x^{2}} $ no intervalo de $ x = -\frac{1}{2} $ a $ x = \frac{1}{2} $ é rotacionado em torno do eixo $ x $.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo relacionados à área de superfícies de revolução. Precisaremos aplicar a fórmula da área de superfície gerada pela rotação de uma curva em torno do eixo $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula para calcular a área de uma superfície de revolução ao girar uma curva $ y = f(x) $ em torno do eixo $ x $:
y = f(x)
Aqui, $ a $ e $ b $ são os limites de integração, que no nosso caso são $ -\frac{1}{2} $ e $ \frac{1}{2} $.

Passo 3

Agora, vamos identificar a função $ y $ e calcular sua derivada $ \frac{dy}{dx} $.
Nossa função é $ y = \sqrt{1 - 4x^{2}} $.
Vamos derivar $ y $ em relação a $ x $:
y

Passo 4

Agora que temos $ y $ e $ \frac{dy}{dx} $, vamos substituir esses valores na fórmula da área de superfície:
y
Simplificando dentro da raiz:
dydx
Portanto:
A = 2pi integral-12^12 raiz1 - 4x^2 cdot raiz1 + ( -4xraiz1 - 4x^2 )^2 , dx

Passo 5

Observamos que a integral é simétrica em relação a $ x = 0 $, então podemos simplificar o cálculo multiplicando por 2 e considerando o intervalo de 0 a $ \frac{1}{2} $:
x = 0
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição trigonométrica ou utilizamos uma fórmula padrão de integração. Aqui, vamos usar a fórmula da integral de $ \sqrt{a + bx^{2}} $:
12
Neste caso, $ a = 1 $ e $ b = 12 $.

Passo 6

Aplicando a fórmula de integração:
integral0^12 raiz1 + 12x^2 , dx = [ x2 raiz1 + 12x^2 + 12raiz12 ln( raiz12x + raiz1 + 12x^2 ) ]0^12
Calculando nos limites:
Para $ x = \frac{1}{2} $:
x = 12
Simplificando:
122 raiz1 + 12(12)^2 + 12raiz12 ln( raiz12cdot12 + raiz1 + 12(12)^2 )
Para $ x = 0 $:
14 raiz1 + 3 + 12raiz12 ln( raiz122 + raiz4 ) = 14 cdot 2 + 12raiz12 ln( raiz3 + 2 ) = 12 + 12raiz12 ln( raiz3 + 2 )
Portanto, a integral vale:
x = 0

Resposta

A área da superfície gerada pela rotação do arco da curva em torno do eixo $ x $ é:
x á

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