Encontre o comprimento e a área da superfície obtida pela rotação em torno do eixo y da curva:
y=\int_{1}^{x} \sqrt{t-1} d t \quad 1 \leq x \leq 16

Passo 1

O enunciado nos dá a curva em que
y=\int_{1}^{x}\sqrt{t-1}\,dt,\quad 1\le x\le16,
e pede (a) o comprimento dessa curva e (b) a área da superfície obtida ao girá-la em torno do eixo y.
Para isso vamos usar as fórmulas:
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}}\,dx
e
S=2\pi\int_{a}^{b}x\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}}\,dx.

Passo 2

Primeiro calculamos explicitamente y(x) e sua derivada y'(x).
Fazendo a substituição u=t-1, temos
y=\int_{1}^{x}\sqrt{t-1}\,dt =\int_{0}^{\,x-1}\sqrt{u}\,du =\left.\frac{2}{3}u^{3/2}\right|_{0}^{\,x-1} =\frac{2}{3}(x-1)^{3/2}.
Logo,
y'(x)=\frac{d}{dx}\!\biggl[\frac{2}{3}(x-1)^{3/2}\biggr] =\sqrt{x-1}.

Passo 3

Para o comprimento, note que
\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}} =\sqrt{1+(x-1)} =\sqrt{x}.
Logo
L=\int_{1}^{16}\sqrt{x}\,dx =\left.\frac{2}{3}x^{3/2}\right|_{1}^{16} =\frac{2}{3}\bigl(16^{3/2}-1^{3/2}\bigr) =\frac{2}{3}(64-1) =42.

Passo 4

Para a área da superfície de revolução em torno do eixo y usamos
S=2\pi\int_{1}^{16}x\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}}\,dx =2\pi\int_{1}^{16}x\sqrt{x}\,dx =2\pi\int_{1}^{16}x^{3/2}\,dx =2\pi\left.\frac{2}{5}x^{5/2}\right|_{1}^{16} =\frac{4\pi}{5}\bigl(16^{5/2}-1\bigr).
Como 16^{5/2}=1024, resulta
S=\frac{4\pi}{5}(1024-1) =\frac{4092\pi}{5}.

Resposta

Comprimento L=42.
Área da superfície S=\tfrac{4092\pi}{5}.

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