A curva y=x^{2}, 0 \leq x \leq 1, é girada em torno do eixo y. Calcule a área da superfície resultante.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a curva y=x^2 para 0\le x\le1 girada em torno do eixo y. O conteúdo é cálculo de área de superfície de revolução e vamos usar a fórmula diferencial
S=\int_{a}^{b}2\pi\,(raio)\,ds
onde o raio é a distância de cada ponto da curva ao eixo de rotação.

Passo 2

Calcular a derivada de y em relação a x:
\frac{dy}{dx}=2x.

Passo 3

Escrever o elemento de comprimento de arco ds:
ds=\sqrt{1+\Bigl(\frac{dy}{dx}\Bigr)^{2}}\,dx =\sqrt{1+(2x)^{2}}\,dx =\sqrt{1+4x^{2}}\,dx.

Passo 4

Identificar o raio de rotação: é a coordenada x. Montar a integral da área:
S=\int_{0}^{1}2\pi\,x\,\sqrt{1+4x^{2}}\,dx.

Passo 5

Fazer a substituição
u=1+4x^{2} \quad\Longrightarrow\quad du=8x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx=\frac{du}{8}.
Então
\int_{0}^{1}x\sqrt{1+4x^{2}}\,dx =\int_{u(0)=1}^{u(1)=5}\sqrt{u}\,\frac{du}{8} =\frac{1}{8}\int_{1}^{5}u^{1/2}\,du.

Passo 6

Calcular a integral em u:
\frac{1}{8}\int_{1}^{5}u^{1/2}\,du =\frac{1}{8}\cdot\frac{u^{3/2}}{\tfrac{3}{2}}\Biggr|_{1}^{5} =\frac{1}{12}\bigl(5^{3/2}-1^{3/2}\bigr) =\frac{1}{12}\bigl(5\sqrt{5}-1\bigr).
Multiplicando por 2\pi, obtemos
S=2\pi\cdot\frac{1}{12}\bigl(5\sqrt{5}-1\bigr) =\frac{\pi}{6}\bigl(5\sqrt{5}-1\bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{6}\bigl(5\sqrt{5}-1\bigr)

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