A curva y=x^{2}, 0 \leq x \leq 1, é girada em torno do eixo x. Calcule a área da superfície resultante.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície obtida ao girar a curva y=x^{2}, com 0\le x\le1, em torno do eixo x. Este é um problema de cálculo de área de superfície de revolução. Vamos usar a fórmula
S = 2\pi \int_{a}^{b} y(x)\,\sqrt{1 + \bigl(y'(x)\bigr)^{2}}\;dx,
onde y(x)=x^{2} e y'(x)=2x.

Passo 2

Substituindo na fórmula, obtemos
S = 2\pi \int_{0}^{1} x^{2}\,\sqrt{1 + (2x)^{2}}\;dx = 2\pi \int_{0}^{1} x^{2}\,\sqrt{1 + 4x^{2}}\;dx.

Passo 3

Para calcular \displaystyle \int_{0}^{1} x^{2}\sqrt{1+4x^{2}}\,dx, faremos a substituição hiperbólica
x = \tfrac{1}{2}\operatorname{sinh} t,
de modo que
dx = \tfrac{1}{2}\operatorname{cosh} t\,dt, \quad \sqrt{1+4x^{2}} = \sqrt{1+\operatorname{sinh}^{2}t} = \operatorname{cosh} t.
Quando x=0, t=0; quando x=1, \operatorname{sinh} t=2 e t=\arsinh(2).

Passo 4

Na nova variável, o integrando vira
x^{2}\sqrt{1+4x^{2}}\,dx = \Bigl(\tfrac{1}{2}\operatorname{sinh} t\Bigr)^{2}\cdot\operatorname{cosh} t\cdot\tfrac{1}{2}\operatorname{cosh} t\,dt = \tfrac{1}{8}\,\operatorname{sinh}^{2}t\,\operatorname{cosh}^{2}t\;dt.
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S = 2\pi \int_{0}^{1} x^{2}\sqrt{1+4x^{2}}\,dx = 2\pi \int_{0}^{\arsinh(2)} \tfrac{1}{8}\operatorname{sinh}^{2}t\,\operatorname{cosh}^{2}t\;dt = \tfrac{\pi}{4}\int_{0}^{\arsinh(2)} \operatorname{sinh}^{2}t\,\operatorname{cosh}^{2}t\;dt.

Passo 5

Use a identidade \operatorname{sinh}^{2}t\,\operatorname{cosh}^{2}t = \bigl(\tfrac{\sinh2t}{2}\bigr)^{2} = \tfrac{1}{4}\operatorname{sinh}^{2}(2t) e depois \operatorname{sinh}^{2}u = \tfrac{\operatorname{cosh}(2u)-1}{2}. Assim
\int \operatorname{sinh}^{2}t\,\operatorname{cosh}^{2}t\,dt = \tfrac{1}{4}\int \operatorname{sinh}^{2}(2t)\,dt = \tfrac{1}{4}\int \tfrac{\operatorname{cosh}(4t)-1}{2}\,dt = \tfrac{1}{8}\Bigl(\tfrac{\operatorname{sinh}(4t)}{4} - t\Bigr) + C.
Portanto,
\int_{0}^{\arsinh(2)} \operatorname{sinh}^{2}t\,\operatorname{cosh}^{2}t\,dt = \tfrac{1}{8}\Bigl[\tfrac{\operatorname{sinh}(4t)}{4} - t\Bigr]_{0}^{\arsinh(2)} = \tfrac{1}{32}\operatorname{sinh}\bigl(4\,\arsinh(2)\bigr) - \tfrac{1}{8}\arsinh(2).

Passo 6

Calculamos \operatorname{sinh}(4\,\arsinh(2)) usando \operatorname{sinh}(2u)=2\operatorname{sinh} u\operatorname{cosh} u e \operatorname{cosh} u=\sqrt{1+\operatorname{sinh}^{2}u}:
\operatorname{sinh}(\arsinh(2))=2,\quad \operatorname{cosh}(\arsinh(2))=\sqrt{5},
\operatorname{sinh}(2\,\arsinh(2))=2\cdot2\sqrt{5}=4\sqrt{5}, \quad \operatorname{cosh}(2\,\arsinh(2))=2\cdot2^{2}+1=9,
\operatorname{sinh}(4\,\arsinh(2)) =2\,\operatorname{sinh}(2\,\arsinh(2))\,\operatorname{cosh}(2\,\arsinh(2)) =2\cdot4\sqrt{5}\cdot9=72\sqrt{5}.
Substituindo em S:
S = \tfrac{\pi}{4}\Bigl(\tfrac{1}{32}\,72\sqrt{5} - \tfrac{1}{8}\arsinh(2)\Bigr) = \tfrac{18\pi\sqrt{5}}{32} - \tfrac{\pi}{32}\arsinh(2).
Como \arsinh(2)=\ln\bigl(2+\sqrt{5}\bigr),
S = \frac{\pi}{32}\Bigl(18\sqrt{5} - \ln(2+\sqrt{5})\Bigr).

Resposta

\boxed{S = \frac{\pi}{32}\Bigl(18\sqrt{5} \;-\;\ln(2+\sqrt{5})\Bigr).}

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