Encontre a condição para que órbitas circulares sejam estáveis se a função forc̣a num campo central for da forma
f(r)=-kr^2-epsilonr^4

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função força em um campo central dada por:
f(r) = -kr^2 - epsilonr^4
Queremos encontrar a condição para que órbitas circulares nesse campo sejam estáveis. Para isso, vamos precisar conhecer conceitos de mecânica clássica relacionados a força central, órbitas circulares e estabilidade dessas órbitas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um campo central, a força que age sobre uma partícula é direcionada radialmente e depende apenas da distância $ r $ do centro. Para órbitas circulares, a força centrípeta necessária para manter a partícula na órbita deve ser igual à força fornecida pelo campo central.
A força centrípeta é dada por:
r í
onde $ m $ é a massa da partícula, $ v $ é a velocidade orbital e $ r $ é o raio da órbita.

Passo 3

A função força fornecida é:
f(r) = -kr^2 - epsilonr^4
Aqui, os termos negativos indicam que a força está direcionada para o centro. Para uma órbita circular, a força centrípeta deve equilibrar essa força:
m v^2r = kr^2 + epsilonr^4

Passo 4

Agora, vamos considerar a estabilidade da órbita circular. Uma órbita é estável se, quando a partícula é perturbada ligeiramente, ela retorna para a órbita original em vez de se afastar ou colapsar.
Para analisar a estabilidade, usamos o conceito de potencial efetivo $ V_{efetivo}® $. O potencial efetivo inclui o potencial do campo central mais o termo da energia angular:
Vefetivo(r)
onde $ V® $ é o potencial associado à força $ f® $ e $ L $ é o momento angular da partícula.

Passo 5

Primeiro, encontramos o potencial $ V® $. Sabemos que a força está relacionada ao potencial pela relação:
V(r)
Integrando a força, obtemos:
f(r) = -dVdr
Podemos desprezar a constante $ C $ pois não afeta o comportamento do potencial.

Passo 6

Agora, substituímos $ V® $ no potencial efetivo:
V(r)
Para que a órbita seja circular, precisamos que o primeiro derivado de $ V_{efetivo} $ em relação a $ r $ seja zero:
Vefetivo(r) = -kr - epsilon3 r^3 + L^22 m r^2

Passo 7

Para a estabilidade, o segundo derivado do potencial efetivo em relação a $ r $ deve ser positivo:
r
Calculando o segundo derivado:
d^2Vefetivodr^2 > 0

Passo 8

Substituímos a condição da órbita circular $ \frac{k}{r^{2}} + \frac{\epsilon}{r^{4}} = \frac{L^{2}}{m r^{3}} $ na expressão do segundo derivado:
kr^2 + epsilonr^4 = L^2m r^3
Simplificando:
d^2Vefetivodr^2 = -2kr^3 - 4epsilonr^5 + 3r ( kr^2 + epsilonr^4 )
Para que seja estável:
d^2Vefetivodr^2 = kr^3 - epsilonr^5

Resposta

Para que órbitas circulares sejam estáveis, o raio $ r $ deve satisfazer $ r^{2} > \frac{\epsilon}{k} $. Portanto, a condição de estabilidade é:
r

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