Encontre a condição para que órbitas circulares sejam estáveis se a função forc̣a num campo central for da forma
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função força em um campo central dada por:
Queremos encontrar a condição para que órbitas circulares nesse campo sejam estáveis. Para isso, vamos precisar conhecer conceitos de mecânica clássica relacionados a força central, órbitas circulares e estabilidade dessas órbitas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um campo central, a força que age sobre uma partícula é direcionada radialmente e depende apenas da distância $ r $ do centro. Para órbitas circulares, a força centrípeta necessária para manter a partícula na órbita deve ser igual à força fornecida pelo campo central.
A força centrípeta é dada por:
onde $ m $ é a massa da partícula, $ v $ é a velocidade orbital e $ r $ é o raio da órbita.
Passo 3
A função força fornecida é:
Aqui, os termos negativos indicam que a força está direcionada para o centro. Para uma órbita circular, a força centrípeta deve equilibrar essa força:
Passo 4
Agora, vamos considerar a estabilidade da órbita circular. Uma órbita é estável se, quando a partícula é perturbada ligeiramente, ela retorna para a órbita original em vez de se afastar ou colapsar.
Para analisar a estabilidade, usamos o conceito de potencial efetivo $ V_{efetivo}® $. O potencial efetivo inclui o potencial do campo central mais o termo da energia angular:
onde $ V® $ é o potencial associado à força $ f® $ e $ L $ é o momento angular da partícula.
Passo 5
Primeiro, encontramos o potencial $ V® $. Sabemos que a força está relacionada ao potencial pela relação:
Integrando a força, obtemos:
Podemos desprezar a constante $ C $ pois não afeta o comportamento do potencial.
Passo 6
Agora, substituímos $ V® $ no potencial efetivo:
Para que a órbita seja circular, precisamos que o primeiro derivado de $ V_{efetivo} $ em relação a $ r $ seja zero:
Passo 7
Para a estabilidade, o segundo derivado do potencial efetivo em relação a $ r $ deve ser positivo:
Calculando o segundo derivado:
Passo 8
Substituímos a condição da órbita circular $ \frac{k}{r^{2}} + \frac{\epsilon}{r^{4}} = \frac{L^{2}}{m r^{3}} $ na expressão do segundo derivado:
Simplificando:
Para que seja estável:
Resposta
Para que órbitas circulares sejam estáveis, o raio $ r $ deve satisfazer $ r^{2} > \frac{\epsilon}{k} $. Portanto, a condição de estabilidade é: