Prove que a média temporal da energia potencial de um planeta que descreve uma órbita elíptica em torno do Sol é -k / a, onde a é o semi-eixo maior da elipse. Calcule a média temporal da energia cinética do planeta.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente mostrar que, ao longo de uma volta completa do planeta numa órbita elíptica, a média temporal da energia potencial
U(t)=-kr(t)
é
lang<= Urang<==-ka,
onde K(t)=tfrac12,m,v(t)^2 é o semi-eixo maior da elipse. Depois disso, temos de calcular a média temporal da energia cinética
O assunto aqui é mecânica celeste/Lei da gravitação universal + propriedades de órbitas elípticas. Para resolver, precisaremos:
  1. a equação da órbita em coordenadas polares , com ;
  2. a relação entre e a partir do momento angular constante ;
  3. avaliar o integral .

Passo 2

Calcular L ;=; m,r^2dottheta Longrightarrow dt ;=;m,r^2L,dtheta diretamente.
  1. Momento angular constante dá
lang<= Urang<= =1Tintegral0^T!-kr(t),dt =-kTintegral0^2pi1r(theta);m,r^2(theta)L,dtheta =-k,mL,Tintegral0^2pir(theta),dtheta
  1. Logo
integral0^2pidtheta1+ecostheta =2piraiz1-e^2 ;Longrightarrow; integral0^2pir(theta),dtheta =p;2piraiz1-e^2 =2pi,araiz1-e^2;=;2pi,b,
  1. Usando T=2pi,a,b,mL, com L,T=2pi,a,b,m , sabemos do integral padrão
lang<= Urang<= =-k,mL,T;2pi,b =-k,m2pi,a,b,m;2pi,b =-ka
sendo .
  1. Também a definição de período via Kepler e
portanto
  1. Substituindo tudo em :

Passo 3

Agora, para achar a média da energia cinética E=-k2a , usamos que a energia total lang<= Krang<=+lang<= Urang<= =E ;Longrightarrow; lang<= Krang<= =E-lang<= Urang<= =-k2a-l(-kar) =k2a é constante e vale para órbita elíptica
Como média de soma é soma das médias,

Resposta

Média temporal da energia potencial:
boxedlang<= Urang<==-ka
Média temporal da energia cinética:
boxedlang<= Krang<==k2a

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