Prove que a média temporal da energia potencial de um planeta que descreve uma órbita elíptica em torno do Sol é
, onde
é o semi-eixo maior da elipse. Calcule a média temporal da energia cinética do planeta.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente mostrar que, ao longo de uma volta completa do planeta numa órbita elíptica, a média temporal da energia potencial
é
onde
é o semi-eixo maior da elipse. Depois disso, temos de calcular a média temporal da energia cinética
O assunto aqui é mecânica celeste/Lei da gravitação universal + propriedades de órbitas elípticas. Para resolver, precisaremos:
- a equação da órbita em coordenadas polares
, com ; - a relação entre
e a partir do momento angular constante ; - avaliar o integral
.
Passo 2
Calcular
diretamente.
- Momento angular constante dá
- Logo
- Usando
com , sabemos do integral padrão
sendo
.
- Também a definição de período
via Kepler e dá
portanto
- Substituindo tudo em
:
Passo 3
Agora, para achar a média da energia cinética
, usamos que a energia total
é constante e vale para órbita elíptica
Como média de soma é soma das médias,
Resposta
Média temporal da energia potencial:
Média temporal da energia cinética: