Encontre as condições necessárias e suficientes sobre A e B que tornam verdadeiras as seguintes sentenças:
A \cup B=A

Passo 1

O enunciado pergunta por quais condições sobre os conjuntos A e B vale
A\cup B = A.
O conteúdo que vamos usar é definição de igualdade de conjuntos, união e subconjunto.

Passo 2

Pela definição, dois conjuntos X e Y são iguais se e só se
X \subseteq Y
e
Y \subseteq X.
Aplicando a X = A\cup B e Y = A, obtemos as inclusões necessárias e suficientes
A\cup B \subseteq A
e
A \subseteq A\cup B.
Mas a segunda inclusão é trivial, pois todo elemento de A também está em A\cup B. Logo fica só exigir
A\cup B \subseteq A.

Passo 3

A inclusão A\cup B \subseteq A significa
\forall x,\;x\in A\cup B \;\Longrightarrow\; x\in A.
Por definição de união, x\in A\cup B equivale a “ x\in A ou x\in B”. Para que sempre que x\in B tenha x\in A, é exatamente dizer
B \subseteq A.

Resposta

A condição necessária e suficiente para que A\cup B = A é
B \subseteq A.

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