Dê exemplo de três conjuntos A, B e C tais que as três interseções desses conjuntos dois a dois A \cap B, A \cap C e B \cap C sejam não vazias, mas a interseção A \cap B \cap C seja vazia (isto ilustra a importância de distinguir entre uma família de conjuntos disjuntos e uma família de conjuntos dois a dois disjuntos).

Passo 1

O enunciado pede três conjuntos A, B e C tais que cada interseção dois a dois seja não vazia, ou seja,
A\cap B\neq\varnothing,\quad A\cap C\neq\varnothing,\quad B\cap C\neq\varnothing,
porém a interseção conjunta seja vazia:
A\cap B\cap C=\varnothing.
Isso mostra que “conjuntos dois a dois não disjuntos” não implica “conjuntos mutuamente não disjuntos”.

Passo 2

Vamos escolher conjuntos finitos simples no universo \{1,2,3\}. Definimos
A = \{1,2\},\quad B = \{2,3\},\quad C = \{1,3\}.

Passo 3

Calculemos as interseções dois a dois:
A\cap B = \{1,2\}\cap\{2,3\} = \{2\}\neq\varnothing,
A\cap C = \{1,2\}\cap\{1,3\} = \{1\}\neq\varnothing,
B\cap C = \{2,3\}\cap\{1,3\} = \{3\}\neq\varnothing.

Passo 4

Agora a interseção dos três:
A\cap B\cap C = \{1,2\}\cap\{2,3\}\cap\{1,3\} = \varnothing.
Como nenhum elemento pertence simultaneamente a A, B e C, essa interseção é vazia.

Resposta

Um exemplo satisfatório é
A = \{1,2\},\quad B = \{2,3\},\quad C = \{1,3\},
pois A\cap B=\{2\}, A\cap C=\{1\}, B\cap C=\{3\} são não vazias, mas A\cap B\cap C=\varnothing.

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