Em cada um dos casos decida se a sentença é verdadeira para quaisquer conjuntos A, B e C. Em caso afirmativo, prove. Em caso negativo, dê um contraexemplo.
Se \wp(A)=\wp(B), então A=B.

Passo 1

O enunciado pergunta se, para quaisquer conjuntos A e B, a igualdade
\wp(A)=\wp(B)
implica necessariamente que
A = B.
O conteúdo é teoria de conjuntos, e o que vamos usar é a caracterização de igualdade de conjuntos (duas inclusões) e o fato de que, para todo elemento x, temos \{x\}\in\wp(A) se, e somente se, x\in A.

Passo 2

Mostramos primeiro que A\subseteq B. Seja x\in A. Então o conjunto singleton \{x\} é elemento de \wp(A). Como \wp(A)=\wp(B), segue que
\{x\}\in\wp(B).
Isto significa \{x\}\subseteq B, logo x\in B. Como x era um elemento genérico de A, concluímos A\subseteq B.

Passo 3

De modo análogo provamos B\subseteq A. Seja y\in B. Então \{y\}\in\wp(B)=\wp(A), o que implica \{y\}\subseteq A e, portanto, y\in A. Assim B\subseteq A.

Resposta

A sentença é verdadeira: se \wp(A)=\wp(B), então obrigatoriamente A=B.

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