Em cada um dos casos decida se a sentença é verdadeira para quaisquer conjuntos
e
. Em caso afirmativo, prove. Em caso negativo, dê um contraexemplo.
Se
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado pergunta se, para quaisquer conjuntos
e
, a igualdade
implica necessariamente que
O conteúdo é teoria de conjuntos, e o que vamos usar é a caracterização de igualdade de conjuntos (duas inclusões) e o fato de que, para todo elemento
, temos
se, e somente se,
.
Passo 2
Mostramos primeiro que
. Seja
. Então o conjunto singleton
é elemento de
. Como
, segue que
Isto significa
, logo
. Como
era um elemento genérico de
, concluímos
.
Passo 3
De modo análogo provamos
. Seja
. Então
, o que implica
e, portanto,
. Assim
.
Resposta
A sentença é verdadeira: se
, então obrigatoriamente
.