Exercício 16. Para que valores de χ a função f é contínua?
f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}0 & \text { se } & x \text { é racional } \\\\ 1 & \text { se } & x \text { é irracional }\end{array}\right.éé

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} 0,&\text{se \(x\) é racional},\\ 1,&\text{se \(x\) é irracional}, \end{cases}éé
e pede para quais x ela é contínua. O conteúdo que vamos usar é a definição de continuidade em um ponto e o fato de que os números racionais e irracionais são densos em \mathbb{R}.

Passo 2

Lembrando a definição: f é contínua em a se, para toda sequência (x_n) com x_n\to a, tivermos f(x_n)\to f(a). Em particular, se existirem duas sequências que convergem a a mas cujas imagens em f convergem a valores diferentes, então f não é contínua em a.

Passo 3

Como os racionais são densos, existe uma sequência (r_n) de racionais tal que r_n\to a. Para todos os n, f(r_n)=0. Logo
\lim_{n\to\infty}f(r_n)=0.

Passo 4

Como os irracionais também são densos, existe uma sequência (s_n) de irracionais com s_n\to a. Para todos os n, f(s_n)=1. Logo
\lim_{n\to\infty}f(s_n)=1.
Se a fosse racional, f(a)=0, mas temos uma sequência s_n que faz f(s_n)\to1\neq0. Se a fosse irracional, f(a)=1, mas a sequência r_n faz f(r_n)\to0\neq1. Em ambos os casos a condição de continuidade falha.

Resposta

A função f não é contínua em nenhum ponto de \mathbb{R}.

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