encontrar um conjunto fundamental de soluções (ou seja, três soluções linearmente independentes que gerem todas as soluções do sistema);
para cada autovalor (eigenvalor), informar a multiplicidade algébrica e a multiplicidade geométrica.
As informações relevantes dadas são a matriz A (já escrita acima). Nada mais foi fornecido nem pedido além do que está escrito.]
Passo 2
Para encontrar soluções do tipo X(t)=e^{\lambda t}v precisamos dos autovalores \lambda e dos autovetores v de A. Os autovalores são raízes do polinômio característico \det(A-\lambda I)=0. Vamos calcular \det(A-\lambda I).
Aqui: multiplicidade algébrica é o expoente do fator (\lambda-\lambda_i) no polinômio característico; já a multiplicidade geométrica será a dimensão do espaço nulo de A-\lambda_i I (nº de vetores linearmente independentes autovetores associados).
Passo 4
Agora encontramos os autovetores para \lambda=1. Resolvemos (A-I)v=0. A matriz A-I é
Subtraindo a segunda equação da primeira obtemos x-y=0, logo x=y. Substituindo em 2x+y-z=0 dá 2x+x-z=0\Rightarrow 3x-z=0\Rightarrow z=3x. Assim qualquer vetor da forma
ou seja, todas representam a mesma restrição x+y-z=0. Essa é uma única equação linear entre três incógnitas, então o espaço solução tem dimensão 2 (dois graus de liberdade). Logo a multiplicidade geométrica de \lambda=2 é 2, que coincide com sua multiplicidade algébrica 2.
Para obter uma base do espaço próprio, escrevemos z=x+y. Tomando parâmetros x e y independentes, podemos escolher vetores base simples:
tomando x=1,y=0 obtemos z=1 e o autovetor \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix};
tomando x=0,y=1 obtemos z=1 e o autovetor \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Para \lambda=1: multiplicidade algébrica =1, multiplicidade geométrica =1.
Para \lambda=2: multiplicidade algébrica =2, multiplicidade geométrica =2.
Como a soma das multiplicidades geométricas é 1+2=3 (igual à dimensão do espaço), a matriz A é diagonalizável e existe um conjunto de três autovetores linearmente independentes. Esses autovetores geram um conjunto fundamental de soluções do sistema por X(t)=e^{\lambda t}v.
Passo 7
Formamos as soluções independentes a partir dos autovalores e autovetores encontrados. Para cada autovalor \lambda e autovetor v a função
X(t)=e^{\lambda t}v
é solução do sistema. Assim um conjunto fundamental de soluções é formado por: