Encontre um conjunto fundamental de soluções para os sistemas abaixo, dizendo qual a multiplicidade algébrica e geométrica de cada autovalor.
X^{\prime}=\left( \begin{array}{ccc}3 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & -1 \\ 3 & 3 & -1\end{array}\right) X.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear homogêneo
X' = A X,\qquad A=\begin{pmatrix}3 & 1 & -1 \\[4pt] 1 & 3 & -1 \\[4pt] 3 & 3 & -1\end{pmatrix},
e pede duas coisas:
  • encontrar um conjunto fundamental de soluções (ou seja, três soluções linearmente independentes que gerem todas as soluções do sistema);
  • para cada autovalor (eigenvalor), informar a multiplicidade algébrica e a multiplicidade geométrica.
As informações relevantes dadas são a matriz A (já escrita acima). Nada mais foi fornecido nem pedido além do que está escrito.]

Passo 2

Para encontrar soluções do tipo X(t)=e^{\lambda t}v precisamos dos autovalores \lambda e dos autovetores v de A. Os autovalores são raízes do polinômio característico \det(A-\lambda I)=0. Vamos calcular \det(A-\lambda I).
Escrevendo A-\lambda I:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}3-\lambda & 1 & -1 \\[4pt] 1 & 3-\lambda & -1 \\[4pt] 3 & 3 & -1-\lambda\end{pmatrix}.
Agora computamos o determinante por expansão pela primeira linha. Temos
\det(A-\lambda I)=(3-\lambda)\det\begin{pmatrix}3-\lambda & -1\\[4pt] 3 & -1-\lambda\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt] 3 & -1-\lambda\end{pmatrix} +(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 3-\lambda\\[4pt] 3 & 3\end{pmatrix}.
Calcule cada menor:
\det\begin{pmatrix}3-\lambda & -1\\[4pt] 3 & -1-\lambda\end{pmatrix}=(3-\lambda)(-1-\lambda)-(-1)\cdot 3
\qquad=(3-\lambda)(-1-\lambda)+3=\big(\lambda^2-2\lambda-3\big)+3=\lambda^2-2\lambda=\lambda(\lambda-2).
\det\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt] 3 & -1-\lambda\end{pmatrix}=1\cdot(-1-\lambda)-(-1)\cdot 3= -1-\lambda+3=2-\lambda.
\det\begin{pmatrix}1 & 3-\lambda\\[4pt] 3 & 3\end{pmatrix}=1\cdot 3-(3-\lambda)\cdot 3=3-9+3\lambda=-6+3\lambda.
Substituindo:
\det(A-\lambda I)=(3-\lambda)\big(\lambda(\lambda-2)\big)-(2-\lambda)-\big(-6+3\lambda\big).
Simplificando passo a passo:
(3-\lambda)\lambda(\lambda-2)=\lambda\big((3-\lambda)(\lambda-2)\big)=\lambda\big(-\lambda^2+5\lambda-6\big)=-\lambda^3+5\lambda^2-6\lambda,
-(2-\lambda)=-2+\lambda,\qquad -(-6+3\lambda)=6-3\lambda.
Somando tudo:
\det(A-\lambda I)=-\lambda^3+5\lambda^2-6\lambda +\lambda -2 +6 -3\lambda=-\lambda^3+5\lambda^2-8\lambda+4.
Multiplicando por -1 (para escrever de forma canônica):
\det(A-\lambda I)=-(\lambda^3-5\lambda^2+8\lambda-4).
As raízes são as mesmas que as de \lambda^3-5\lambda^2+8\lambda-4. Vamos fatorar este polinômio.]

Passo 3

Testando raízes racionais possíveis ( \pm1,\pm2,\pm4), verificamos:
1-5+8-4=0,
portanto \lambda=1 é raiz. Fazendo a divisão do polinômio por (\lambda-1) obtemos o quociente
\lambda^2-4\lambda+4=(\lambda-2)^2.
Logo o polinômio característico fatorado é
\lambda^3-5\lambda^2+8\lambda-4=(\lambda-1)(\lambda-2)^2.
Portanto os autovalores são
\lambda_1=1\quad(\text{multiplicidade algébrica }1), \qquad \lambda_2=2\quad(\text{multiplicidade algébrica }2).éé
Aqui: multiplicidade algébrica é o expoente do fator (\lambda-\lambda_i) no polinômio característico; já a multiplicidade geométrica será a dimensão do espaço nulo de A-\lambda_i I (nº de vetores linearmente independentes autovetores associados).

Passo 4

Agora encontramos os autovetores para \lambda=1. Resolvemos (A-I)v=0. A matriz A-I é
A-I=\begin{pmatrix}2 & 1 & -1\\[4pt] 1 & 2 & -1\\[4pt] 3 & 3 & -2\end{pmatrix}.
Escrevendo o sistema linear:
2x+y-z=0,
x+2y-z=0,
3x+3y-2z=0.
Subtraindo a segunda equação da primeira obtemos x-y=0, logo x=y. Substituindo em 2x+y-z=0 2x+x-z=0\Rightarrow 3x-z=0\Rightarrow z=3x. Assim qualquer vetor da forma
v=\begin{pmatrix}x\\[4pt] x\\[4pt] 3x\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]3\end{pmatrix}
é autovetor associado a \lambda=1. Tomando x=1 temos um autovetor gerador:
v^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]3\end{pmatrix}.
A dimensão do espaço de autovetores para \lambda=1 é 1, logo a multiplicidade geométrica de \lambda=1 é 1 (igual à algébrica neste caso).]

Passo 5

Agora \lambda=2. Resolvemos (A-2I)v=0. A matriz A-2I é
A-2I=\begin{pmatrix}1 & 1 & -1\\[4pt] 1 & 1 & -1\\[4pt] 3 & 3 & -3\end{pmatrix}.
As equações correspondentes são
x+y-z=0,
x+y-z=0,
3x+3y-3z=0,
ou seja, todas representam a mesma restrição x+y-z=0. Essa é uma única equação linear entre três incógnitas, então o espaço solução tem dimensão 2 (dois graus de liberdade). Logo a multiplicidade geométrica de \lambda=2 é 2, que coincide com sua multiplicidade algébrica 2.
Para obter uma base do espaço próprio, escrevemos z=x+y. Tomando parâmetros x e y independentes, podemos escolher vetores base simples:
  • tomando x=1,y=0 obtemos z=1 e o autovetor \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix};
  • tomando x=0,y=1 obtemos z=1 e o autovetor \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Assim uma base da eigenspace \lambda=2 é
v^{(2)}_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad v^{(2)}_2=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Resumo das multiplicidades:
  • Para \lambda=1: multiplicidade algébrica =1, multiplicidade geométrica =1.
  • Para \lambda=2: multiplicidade algébrica =2, multiplicidade geométrica =2.
Como a soma das multiplicidades geométricas é 1+2=3 (igual à dimensão do espaço), a matriz A é diagonalizável e existe um conjunto de três autovetores linearmente independentes. Esses autovetores geram um conjunto fundamental de soluções do sistema por X(t)=e^{\lambda t}v.

Passo 7

Formamos as soluções independentes a partir dos autovalores e autovetores encontrados. Para cada autovalor \lambda e autovetor v a função
X(t)=e^{\lambda t}v
é solução do sistema. Assim um conjunto fundamental de soluções é formado por:
X^{(1)}(t)=e^{1\cdot t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]3\end{pmatrix},\qquad X^{(2)}(t)=e^{2\cdot t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad X^{(3)}(t)=e^{2\cdot t}\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Qualquer solução geral do sistema pode ser escrita como combinação linear destas:
X(t)=c_1 X^{(1)}(t)+c_2 X^{(2)}(t)+c_3 X^{(3)}(t),
com constantes c_1,c_2,c_3\in\mathbb{R}.]

Resposta

X^{(1)}(t)=e^{t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]3\end{pmatrix},\quad X^{(2)}(t)=e^{2t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix},\quad X^{(3)}(t)=e^{2t}\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}
\lambda=1: multiplicidade algébrica 1, multiplicidade geométrica 1
\lambda=2: multiplicidade algébrica 2, multiplicidade geométrica 2]

Exercícios relacionados