Encontrar um conjunto fundamental de soluções (isto é, três soluções linearmente independentes) para X'(t)=A X(t).
Dizer, para cada autovalor, a multiplicidade algébrica e a multiplicidade geométrica.
As informações relevantes do enunciado são apenas a matriz A acima e o pedido descrito.]
Passo 2
Primeiro passo técnico: encontrar os autovalores de A. Como A é triangular inferior, o polinômio característico é dado pelo produto dos termos diagonais (a_{11}-\lambda)(a_{22}-\lambda)(a_{33}-\lambda). Logo
Explicação curta e didática: multiplicidade algébrica é o expoente com que o fator (\lambda-\lambda_0) aparece no polinômio característico; como aparece (1-\lambda)^2, a multiplicidade algébrica de \lambda=1 é 2.
Passo 3
Agora calculemos a multiplicidade geométrica de [\lambda=1), isto é, a dimensão do espaço próprio \ker(A-I).
Procuramos vetores v=(x,y,z)^{T} tais que (A-I)v=0. As equações são:
\begin{cases} 0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = 0,\\[4pt] 7x = 0,\\[4pt] 8x + 3y + 4z = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem x=0\]. Substituindo em terceira, obtemos \(3y+4z=0, ou seja y=-\tfrac{4}{3}z. Tomando z como parâmetro livre t, os vetores próprios são
Portanto a dimensão de \ker(A-I) é 1. Conclusão: para \lambda=1 temos multiplicidade algébrica 2 e multiplicidade geométrica 1 (autovalor defeituoso).
Comentário didático: a multiplicidade geométrica é o número de vetores próprios linearmente independentes associados ao autovalor; aqui só aparece um, apesar de o autovalor ter multiplicidade algébrica 2.]
Passo 4
Como a multiplicidade geométrica de \lambda=1\) é \(1\) < multiplicidade algébrica \(2\), precisamos de um vetor generalizado \(w\) tal que
\[(A-I)w=v_1,
para construir a segunda solução associada a esse autovalor (cadeia de Jordan de comprimento 2).
Escrevemos w=(u,v,w)^{T} (vou usar letras diferentes para os componentes para não confundir). A equação (A-I)w=v_1 se escreve com a matriz já conhecida:
Da segunda equação u=-\tfrac{4}{7}\]. Substituindo na terceira:
\[8\Big(-\tfrac{4}{7}\Big) + 3v + 4w = 3 \quad\Rightarrow\quad 3v + 4w = 3 + \tfrac{32}{7} = \tfrac{53}{7}.\]
Tomamos \(w livre e escolhemos um valor que torne v simples. Por exemplo, tomar w=\tfrac{2}{7} dá
e de fato (A-I)v_2=v_1 (pode-se verificar multiplicando a matriz).
Observação prática: poderia também ter escolhido v_1 escalado (por exemplo 7v_1) e então v_2 inteiro; qualquer cadeia v_1,v_2 com (A-I)v_1=0 e (A-I)v_2=v_1 serve, porque multiplicações escalares só trocam por constantes as soluções finais.]
Passo 5
Agora tratamos o autovalor \lambda=5\). Calculamos \(\ker(A-5I)\). A matriz \(A-5I\) é
\[A-5I=\begin{pmatrix}-4 & 0 & 0\\[4pt]7 & -4 & 0\\[4pt]8 & 3 & 0\end{pmatrix}.
Procurando v=(x,y,z)^T com (A-5I)v=0 obtemos as equações
Assim a multiplicidade geométrica de \lambda=5 é 1, que coincide com sua multiplicidade algébrica 1.]
Passo 6
Construção das soluções fundamentais do sistema X'(t)=A X(t).
Regra (lembrinha didática): se v é autovetor associado a \lambda, então e^{\lambda t}v é solução. Se há um vetor generalizado w com (A-\lambda I)w=v, então outra solução independente associada à mesma cadeia de Jordan de comprimento 2 é e^{\lambda t}(t v + w). No nosso caso, para \lambda=1 temos a cadeia v_1, v_2 com (A-I)v_1=0 e (A-I)v_2=v_1. Para \lambda=5 temos o autovetor v_3.
Portanto três soluções linearmente independentes são:
Estas três soluções são linearmente independentes (duas vêm de uma cadeia de Jordan de tamanho 2 associada a \lambda=1 e a terceira vem do autovalor distinto \lambda=5), logo formam um conjunto fundamental.]